來源：電驅視界

作者：世界探客

在日常分析中，我們經常将固有頻率和共振頻率混淆在一起，認為它們是一回事，其實這是不嚴謹的，固有頻率是結構固有特性的表現，而共振頻率是結構在受外力時響應的表現。

單自由度彈簧系統自由振動

單自由度系統指在任意時刻隻要一個廣義坐标即可完全确定其位置的系統。話句話說，物體受的合力隻沿一個方向。下圖玩偶的運動可以由彈簧-質量系統組成。

該彈簧-質量系統的簡化模型可如下圖所示。

取物塊的靜平衡位置為坐标原點，沿彈簧變形方向鉛直向下為正。當物塊距離平衡位置為x 距離時，物塊的運動微分方程可表示為：

其中，m 為物塊質量，k 為彈簧剛度，c 為粘阻系數，2n=c/m 表示阻尼衰減系數，阻尼系數為零時對應無阻尼振動系統。

固有頻率pn：

固有頻率隻與質量和剛度兩個因素有關，與阻尼等其它因素無關。結構邊界連接方式、材料特性、形狀等因素會影響固有頻率，但最終也是體現到剛度和質量兩個因素上，這些不是最終影響因素。

彈簧系統簡諧激勵作用下的受迫振動

自由振動是系統不受外界激勵下的振動，運動軌迹與初始狀态和固有特性有關。而受迫振動是指系統在外界激勵下産生的振動。

外界激勵一般為時間的周期函數或者非周期函數，其中，簡諧激勵是最簡單的激勵。設簡諧激振力為

其中，H 為激振力的幅值，ω 為激振力的角頻率。

當物塊偏離平衡位置為x 距離時，物塊的運動微分方程為

其中，h=H/m，上式為具有粘性阻尼的單自由度受迫振動微分方程，是二階常系數線性非齊次常微分方程。

上式和我們在電路理論中學習到的容感負載電壓響應表達式完全一緻，都是二階常系數線性非齊次常微分方程，電路中的阻尼靠的是電阻，因為電阻隻消耗不儲存能量。由此感慨下，不同學科間的知識是何其相似！！！

有阻尼系統在簡諧激勵下，運動微分方程的全解設為：

其中，x1(t ) 為齊次解，做自由衰減振動；由于阻尼的存在，衰減振動部分經過一定的時間之後就會消失，其解與自由振動時的一樣，此處不再贅述。我們這裡關心因為受迫振動産生的特解x2(t )，其可以表示為：

其中，

穩态受迫振動的振幅大小和相位滞後差與初始條件無關，僅僅取決于系統和激勵的特性。設頻率比、阻尼比和振幅放大系數分别為：

上式可改寫為：

據此，我們就知道受迫振動下系統的響應，為更清晰明了，可以畫出不同的阻尼比、頻率比和振幅放大系數之間的關系。

将頻率劃分為低頻區、中頻區和高頻區三部分，由上圖可看出，在低頻區和高頻區，當阻尼對振幅放大系數的影響不大，為簡化計算可将有阻尼系統簡化為無阻尼系統。

固有頻率 & 共振頻率

上文說過，固有頻率是系統結構特性的表現，隻與質量和剛度兩個因素有關，與阻尼等其它因素無關，n 自由度系統存在n 個固有頻率，連續系統存在無數多個固有頻率。

結構的共振會導緻不可預料的行為，共振出現在結構或材料在外界特定激勵頻率下發生大幅度自然振動時的頻率，是按外界的激勵頻率來講的，是激勵響應的表現。

上圖中藍色圈表示的即為該系統下的共振頻率，當結構的阻尼非常小時，共振頻率近似等于結構的固有頻率；但是當結構的阻尼較大時，共振頻率要小于結構的固有頻率，兩者并不一緻。

在進行系統設計時不僅僅需要考慮躲避共振峰單一頻率，還要避開共振峰附近共振帶，對應上圖中的中頻區，因為共振帶範圍内的響應都很大；既要保證不受自身設備正常工作的影響，也要考慮不受其他設備結構和激勵的影響。

共振會引起吊梁倒塌、地面共振、機器損壞和次聲波危害等，但是振動并不一定是有害的，比如樂器可以利用共振發聲的，有利有弊。

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