大多數在數學上正确的科學是反直覺。

事實上，在數學中，我們經常會遇到這樣的情況，即我們會推導出我們不完全理解的東西。

01No.1：歐拉恒等式

• 歐拉恒等式

這就是衆所周知的歐拉恒等式。如果你問任何一個稍微熟悉數學研究的人，他們都會認出它。對我來說，數學最有趣的地方在于發現我們并不完全理解的東西。

超越數就是其中之一。我們發現它經常出現在我們經常使用的地方。要麼是半衰期，要麼是計算房屋利率，要麼是計算圓周長與直徑之比。

有了0和1，以及- 1的平方根的定義，加上唯一性的一般公理，我們就可以構建整個數字系統。

我們所有的知識都在這個等式中。但我們不知道為什麼。這有點像萬有引力，因為牛頓知道有一個力作用在從樹上掉下來的蘋果上。但是，直到今天，我們仍然對它到底是什麼有争議。

斯坦福大學教授基思·德夫林談到歐拉恒等式：

就像莎士比亞的十四行詩抓住了愛的本質，或者一幅畫展現了人類形态的美，而不僅僅是膚淺的，歐拉方程深入到存在的最深處。

哲學家、數學家、哈佛大學教授本傑明·皮爾斯也說過：

這“絕對是自相矛盾的，我們不能理解它，我們不知道它意味着什麼，但我們已經證明了它，因此我們知道它一定是真理。

這就是歐拉恒等式的核心。事實上，它是很多數學的核心。但是即使抛棄了整個邏輯思維和精确性，它也沒有達到真正的 真實含義。

我們知道，他們以我們所知的高度精确的程度來解釋現實。他們模拟了我們遇到的幾乎所有東西。它們改善了社會絕大多數人的生活，而社會卻不承認它。

它們是世界上看不見的真理。你不需要了解他們就能從他們給我們的東西中受益。

但是，如果有人問我，“為什麼？”是歐拉恒等式，我不能告訴你。

這就是有趣的地方。你有一個如此強大的方程，将數學中如此多的元素聯系在一起——而且如此優雅——但我們并沒有真正理解它。

02No.2：超越數

還記得我們在歐拉恒等式中看到的e嗎？它與很多事物都有聯系，但讓我們先從它的發現開始，然後再進入它的奇怪之處。

1683年，Jacob Bernoulli問了一個關于複利的問題：

一個賬戶從1美元開始，每年支付100%的利息。如果利息在年底貸記一次，那麼年底時賬戶的價值為2美元。如果利息在一年内多次貸記會發生什麼？

也就是說，如果你用最初的1美元，将利息(100%)分成你想要它支付的次數，會發生什麼？

如果你想做兩次，那麼每6個月會産生50%的利息。也就是說，你将得到：

• 按100%利率計算一美元本金的複利公式。

n是初始1元複利的次數。換句話說，你将把100%的利息分成你想要的次數。

例如，在我們最初的情況下，每6個月，你會有：

對于伯努利來說，有趣的事情很快就變成了如何對較大的n值進行求解：

• 對于n = 12，得到2.613035美元。
• 對于n = 52，得到2.692597美元。
• 對于n = 365，得到2.714567美元。

然後，對于n無窮大，将得到：

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……

無窮大與數學之間有一種奇怪的關系。一方面，它使人類有能力更深入地觀察世界的内部運作。另一方面，它回避了一個問題:“為什麼?”。

另一個超越數同樣通過無限的使用而出現：

其中C是周長，d是直徑。

但是我們是怎麼想到這個的呢？為什麼形狀是圓？圓到底是什麼？

從一個正方形開始，不斷地增加邊數。直到無窮多，當邊數為無窮大時，π的值為：

3.14159……

所以，當你看一個圓的時候，你實際上是在看一個有無數條邊的多邊形。

如果我們對歐拉數好奇，我們會看到更多令人撓頭的東西。

也就是說,

• e^x的導數和積分

我們以伯努利的複合例子為例，把它推廣到求幂。也就是說，我們把e看作是一個超越常數，它是指數函數的基礎。即使作為一個函數，它在神秘的存在中也有一種奇妙的力量。指數函數的定義幾乎是每個人都遇到過的。

我們後面會學到，如果對它求導，會得到：

• 更重要的是，指數函數的加速能力。

從指數函數中可以看出它們增長的有多快。速度和加速度是指數運算的核心。

當我們求下面的導數：

我們要求出常數b使得ln(b) = 1。我們的動機是找出常數，使增長率是原來的函數。這意味着，通過可驗證的遞歸，增長率的速率也将是原來的函數。

這意味着原函數的導數的任何n次疊代或n次導數的n次疊代也将是原函數。再一次，我們回顧了無限的概念。

常數e，是唯一的比例常數為1的基，使得指數函數的導數以e為底等于它本身。

與其他指數函數不同的是，它在各個領域都有許多派生，有着同樣令人困惑的解釋和含義。

為了看得更清楚：

• e^x：相同的結果，不同的方法

這裡

我們的極限包含了伯努利方程和複利方程的初始問題(對于特殊情況，x = 1，結果是e)

毫無疑問，這些特殊的無理數e和π深刻理解了世界的本質以及其中的物質和物體的行為。無論是在分布，聲波，原子和亞原子行為，賭博，生物，化學，物理。這一切都來自一個最初想要回答一個簡單的複合問題的人:

• 關于複利的簡單圖表，1000美元本金開始。

但在尋求某種封閉和某種趨同的過程中，我們似乎仍存在分歧。每解決一個問題，就會出現更多的問題。超驗論也是這樣産生的。

出現，但不一定能解釋“為什麼”。這些數字e和π是通過好奇心和人類意志力發現的。我要說的是，今天我們對這些數字的了解與以往一樣多。

事實上，我們把這些都計算到十幾萬億位。

• e的近似值，維基百科

發現的曆史和試圖理解它的存在一樣令人困惑。

03No.3：級數

對于上面的e，泰勒級數是：

• e^x的泰勒級數

對于一般情況，e的1次方：

我們知道這個級數是收斂的，我們知道這個級數收斂于我們的超越常數e。

我們知道的另一個類似的級數是調和級數：

• 調和級數

有趣的是，你會說這個東西會收斂。

前一百萬項的和大約是14.8。

但是如果我們假設調和級數收斂，那麼我們可以這樣假設

但是

因此

這是不可能的。因此，我們知道級數是發散的。

然而在1914年，A.J.肯普納發表了一篇名為《一個奇怪的收斂級數》的論文，證明了調和級數

稍微修改一下，實際上是收斂的。也就是去掉分母中含有“9”的值的調和級數。

起初，肯普納認為這個級數的上限應該在80以下。從那時起，進一步的細化顯示這個級數收斂到略低于23的值，大約是22.92067。這是非常奇怪的，從發散的級數中删除一些元素，最終将使級數收斂。

但是，大多數三位數的分母值都包含“9”，這使得級數收斂的速度幾乎不夠快。

但這顯然回避了一個問題：你能從調和級數中删除的最小元素數量是多少才能使它收斂？

04No.4：所有自然數之和

如果你用計算器，開始加1 2 3 4 5，一直加下去，不停止，你會認為你會得到一個非常大的正數。

讓我告訴你一些完全違背直覺的事情：

也就是說，如果你把自然數相加，1 2 3 4 5 …你會得到：

首先，我們需要一些工具

我們從第三個和開始，N_2。如果我們将此和停止在偶數點，則從對稱性上我們知道該和為0。如果在奇數點停止計算，結果是1。我們先取平均值，而不考慮它的數學原理。總和是1/2！

現在我們看一下N_1。具體來說，我們把總和乘以2。

如你所見，我們得到：

你知道嗎，原來的和，N，在括号裡！

N - N_1 = 4(N)。

所以N_1 = 1/4。

所以我們要做的就是從一邊減去N，現在我們有：

-1/4 = 3N。N=-1/12

這個結果的唯一補充就是無窮級數實際上是發散的。同時，我的最終結果依賴于其他級數的部分和。但是，如果你問我“為什麼?”，我還是不能告訴你。

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