一、本章知識網絡結構：

二、知識回顧：

（一） 映射與函數

1. 映射與一一映射

2.函數

函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者确定後，值域也就相應得到确定，因此隻有定義域和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數.

3.反函數

反函數的定義

設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x=φ

(y). 若對于y在C中的任何一個值，通過x=φ

(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那麼，x=φ

(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數，這樣的函數x=φ

(y) (y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作

,習慣上改寫成

（二）函數的性質

⒈函數的單調性

定義：對于函數f(x)的定義域I内某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,

⑴若當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),則說f(x)在這個區間上是增函數；

⑵若當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),則說f(x) 在這個區間上是減函數.

若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.

2.函數的奇偶性

7. 奇函數，偶函數：

⑴偶函數：f(-x)=f(x)

設（a，b）為偶函數上一點，則（-a,b）也是圖象上一點.

偶函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于y軸對稱，例如：y=x² 1在[1,-1]上不是偶函數.

②滿足f（-x）=f（x），或f（-x）-f（x）=0，若f(x)≠0時，f(x)/f(-x)=1.

⑵奇函數：f(-x)=-f(x)設（a,b）為奇函數上一點，則（-a,-b）也是圖象上一點.奇函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于原點對稱，例如：y=x³在[1,-1]上不是奇函數.

②滿足f(-x)=-f(x)，或f(-x) f(x)=0，若f(x)≠0時，f(x)/f(-x)=-1.

8. 對稱變換：①y = f（x）

②y =f（x）

③y =f（x）

9. 判斷函數單調性（定義）作差法：對帶根号的一定要分子有理化，例如：

在進行讨論.

10. 外層函數的定義域是内層函數的值域.

例如：已知函數f（x）= 1 x/（1-x）

的定義域為A，函數f[f（x）]的定義域是B，則集合A與集合B之間的關系是 . B

解：f（x）的值域是f(f（x）)的定義域B，f(x)的值域∈R，故B∈R，而A{x | x≠1}，故

.

11. 常用變換：

①f(x y)=f(x)f(y)<==>f(x-y)=f(x)/f(y).

證：f(x-y)=f(y)/f(x)<==>f(x)=f[(x-y)f(y)]

②f(x/y*y)=f(x/y) f(y)

證：f(x)=f(x/y*y)=f(x/y) f(y)

12. ⑴熟悉常用函數圖象：

例：

關于y軸對稱.

y=|2x² 2x-z|→|y|關于x軸對稱.

⑵熟悉分式圖象：

例：y=（2x 1）/（x-3）=2 7/（x-3)=>定義域{x|x≠3,x∈R}，

值域{y|y≠2,y∈R}→值域≠X前的系數之比.

（三）指數函數與對數函數

指數函數y=a（x次方）（a>0且a≠1）的圖象和性質

對數函數y=logax的圖象和性質:

對數運算：

以上:

注⑴：當a,b<0時log（a·b）=log（-a） log（-b）.

⑵：當m>0時,取：“ ”，當n是偶數時且m<0時，mⁿ>0，而m<0，故取“—”.

例如：

中x＞0而

中x∈R）.

⑵y=a的x次方（a>0,a≠1）與

互為反函數.

當a>1時,

的a值越大，越靠近x軸；當0<a<1時，則相反.

（四）方法總結

⑴.相同函數的判定方法：定義域相同且對應法則相同.

⑴對數運算：

以上:

注⑴：當a,b<0時，log(a·b)=log(-a) log(-b).

⑵：當M>0時，取“ ”，當n是偶數時且M<0時，Mⁿ>0，而M<0，故取“—”.

例如：

中x＞0而

中x∈R）.

⑵y=a的x次方（a>0，a≠1）與

互為反函數.

當a>1時，

的a值越大，越靠近x軸；當0<a<1時，則相反.

⑵.函數表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數法.

⑶.反函數的求法：先解x,互換x、y，注明反函數的定義域(即原函數的值域).

⑷.函數的定義域的求法：布列使函數有意義的自變量的不等關系式，求解即可求得函數的定義域.常涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小于0；③對數的真數大于0，底數大于零且不等于1；④零指數幂的底數不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等.

⑸.函數值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法.

⑹.單調性的判定法：①設x₁,x₂,是所研究區間内任兩個自變量，且x₁<x₂；②判定f(x₁)與f(x₂)的大小；③作差比較或作商比較.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關系：①f(-x)=f(x)為偶函數；f(-x)=-f(x)為奇函數；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x) f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函數.

⑻.圖象的作法與平移：①據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函數的圖象與對稱性描繪函數圖象.

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