作為普通數學的升級訓練，奧林匹克數學競賽（奧數）有着競賽的光環加成，從海澱黃莊的培訓班到國際奧數競賽中的華人面孔，這一學科在近些年來從不缺少大衆關注。由于難度相對高，奧數一直被認作是精英的學科，有不低的門檻，需要一定的天賦才能學好。

但是，這是否意味着奧數就将普通人拒之門外了？它與普通數學教育之間是什麼關系？鍛煉着人的哪些能力？海南師範大學教授張國強曾是一名奧數競賽的省級冠軍，獲得過初高中全國數學聯賽一等獎、江蘇賽區第一名，并拿到高考數學滿分。

成為人父後，他注重培養孩子的數學思維，并利用業餘時間撰寫文章，普及奧數與數學教育，著有《給孩子的數學思維課》等作品。對于這些問題，他有自己的一些體會和觀察。

沒有葫蘆怎麼畫瓢？

我對奧數競賽的興趣來得很偶然，也很突然。

我小時候生活在魚米之鄉常州武進，在上世紀90年代讀的是正兒八經的一個村小。整個幼兒園和小學時光，我基本都是在泥地裡摸爬滾打度過，平時除了做家庭作業，就是瘋玩。那會兒的寒暑假是真正意義上的假期，除了學校發的一本薄薄的寒暑假作業之外，沒有任何附加任務。

學習可以沒有，玩耍、勞動和家務卻必不可少，這幾項對健身健腦都極有作用。田園時代的村裡生機盎然，有一次我在稻田裡釣田雞，聽到田裡嗖嗖地響，我快速拉起釣竿，結果出來的是一條長長的蛇，我急忙連竿帶袋扔得遠遠的，撒丫子就跑。

《純真年代》劇照

這樣的生活一直持續到六年級下半學期。我所在的村小突然得到教育部門通知，武進縣最好的重點中學将在全縣範圍内第一次特招一個班的學生，學校為該班取名“早慧班”，性質約等于如今的小升初“掐尖”選拔。我當時在校内學習成績還不錯，老師就極力動員我去參加選拔，我也想試試。不過在當時，僅靠村小課内教的那點兒課本知識，想通過選拔無異于癡人說夢。武進是一個人口大縣，那時候全縣共150多萬人，60多個鄉，每個鄉都有8所至10所小學，而招生名額隻有50個。現在想起來，其實競争的強度和難度都相當大。

當時我年紀小，壓根沒想過難度這事，隻是思量着得找點題來練手，這些題目一定要超出于村小的課本之外。我騎車去離家4公裡的鄉鎮書店逛，書店隻有兩間門面，賣一些武俠小說，也有少量教輔書。最後，我找到了一本數學書，藍封面，上面有一男一女兩個卡通形象，書名叫《華羅庚數學學校試題解析》，是人大附中編的，由中國大百科全書出版社出版。

作為一個村小學生，當時我并沒有聽說過高斯、歐拉和牛頓這些大數學家，但華羅庚我還是知道的——他是我們常州人的驕傲，來自常州金壇縣。所以我一看到這本書，就下定決心買它了。這本書成為我的奧數啟蒙書，可問題也随之而來。拿回家後，我稍微翻了一下這本書就傻眼了，整本書的題目我幾乎都不會做。

2015年12月19日，第十六屆“中環杯”中小學數學競賽杭州賽區初賽在青藍小學舉行（董旭明 攝 / 視覺中國 供圖）

很多人可能會說：不會做？可以看解答學嘛。但問題在于，這本書隻是一本習題冊，選擇題、填空題、大題等等依次排列，連一道例題都沒有。書後的習題解答非常簡潔，選擇題、填空題的解答都隻有幹巴巴的一個選項或答數。即便是大題，解答也非常言簡意赅。這樣的解答，對于當時的我來說簡直是天書。

那時候，距離考試隻有3個月時間了，我下定決心要苦攻這本書。本來，小學時我每天晚上和父母看會兒電視就早早睡下。買了這本書後，我就讓父親在樓上支了張竹床。這樣，每天晚飯後我就可以一個人對着這本習題冊鑽研三四個小時。

一開始做這種題，慢得跟蝸牛無異。不會做，我隻能慢慢去嘗試，從簡單到複雜，從特殊到一般。有時一個晚上，我也隻能琢磨出三四道題。但慢慢地，大概過了一個多月，随着琢磨時間的積累，我的能力逐漸提上去了，做題速度在加快，信心在增強，遇到問題也不再發蒙，一個晚上差不多能搞定半套卷子，大概十幾道題。3個月後，到了縣裡中學特招考試前，我差不多把那本習題冊刷了一大半，雖然有些問題仍沒搞明白。

《X Y》劇照

現在回看，這3個月的經曆，對我後續的學習乃至工作方式都産生了深遠影響。我将之稱為“沒有葫蘆就畫瓢”的奧數啟蒙，就像一個小孩子不會遊泳就被直接扔進湖裡，沒有救生員，沒有遊泳圈，唯有求生的本能，迫使他去不斷掙紮着冒出水面撲騰。這種撲騰可能沒有優美的泳姿，卻更加實用。

由于我做那本書裡的題沒有任何例題可循，這種純粹靠嘗試和在錯誤中總結糾正的做法，實實在在地提升了自己解決未知問題的能力——如果不會，就從簡單開始、從特殊開始、從錯誤開始，不斷地歸納總結，螺旋式上升，這是我自那時起總結出的解決未知問題最行之有效的方法。

同時，習慣了解決沒有見過的題型，給我帶來了一個意想不到的效應：碰到沒見過的題型，我不會慌，也不會害怕。在1996年的那場小升初入學選拔考試中，出現了許多我從沒見過的題型，但好在當時經過3個月訓練，我練出了一定能力。對我來說，題型沒見過已是常态。我清晰地記得，當時考卷中的等差數列求和問題，我是從來沒見過的——田園時代的奧數就是這麼質樸。我硬是依靠嘗試和總結，在考場上解決了這個問題。

最終，在那場入學選拔考試中，我考了全縣第一名。

“想”的過程

直到拿到了武進縣的第一名，我才發現自己在數學方面還是有一點擅長的。進入縣重點中學後，我就讀于初高中直升班（一共5年），開始參加老師組織的數學興趣小組。

我們那個年代學奧數純粹是興趣使然，老師組織興趣班，數學成績不錯且對數學感興趣的同學可自願加入，大家都帶着興趣，不喜歡的同學也不會加入。最早接觸奧數時，我雖然覺得有一點難，但還是很享受。我喜歡挑戰，很享受那種苦苦思索後攻克一道題目帶來的成就感和愉悅感。周圍的同學大部分也是這種态度。也有家長要求讓小孩參加興趣班的，但當時還比較少。

插圖：朱麒

學校配備了兩名數學老師給興趣小組。一名教代數，一名教幾何，都是專業過硬同時又非常有耐心的老教師。平面幾何老師是退休返聘的特級教師，治學嚴謹。我印象最深的是，他所有的幾何圖都是嚴格地在黑闆上一步步做出來，這一點對我的幾何解題影響比較深遠，後來不管遇上什麼幾何題，我第一步就是要把圖先自己做一遍。初一暑假，我第一次參加了在黃山舉辦的數學夏令營活動，在那裡聆聽了包括李尚志、嚴鎮軍等名師的講學。

學奧數，名師點撥固然重要，但更重要的還是自己的鑽研學習，要能靜得下心、耐得住性子，去想，去思考。如果一道難題不願思考上半個小時乃至一個小時，那是學不好奧數的。這一點上，我非常贊同美國奧數競賽隊總教練羅博深教授所說的，數學課不是教解題方法，而是要讓學生通過思考，去學會思考，學會想，了解到“想”的力量。重要的不是記住那些數學公式和做題快慢，重要的是“想”的過程。

《為人師表》劇照

奧數隻是更難一點的數學題，和普通課堂上的數學并沒有特别的明确界限。奧數這類題其實非常考察大家的閱讀理解能力、解決問題的能力、創造能力，特别是能訓練我們“觀察、發現、猜想、論證”這一理性思維的解決問題範式。事實上，這才是數學教育本身應該承擔的職責，現在的某些數學教學和考試把數學變成記憶力和準确度的大比拼，是有悖于數學教育初衷的。

就這樣，我在奧數競賽的興趣小組中一直待了下來，逐漸對奧數和持續地“想”有了濃厚興趣。我開始參加奧數競賽，當時主要鑽研的是單墫老師寫的三本藍色封皮的初中數學競賽書，我基本把裡面的題目都吃透了。整個初中時期，我先後參加過希望杯、縣數學競賽等數學比賽，希望杯拿到二等獎，縣數學競賽是第一名，後來全國初中數學聯賽參加過兩次，第一次二等獎，第二次一等獎。拿到這些獎項後，我升入高中，繼續學習奧數。

《叫我第一名》劇照

從初中到高中，本質的方法和思維沒有太多差别，隻是高中奧數更抽象一點，這也是高中數學内容所決定的。到了高中後，我把奧數作為一項主業來抓，它與高考并不矛盾，至少對數學和物理學科的高考是有幫助的。當然，數學競賽是件花時間的事，勢必會壓縮其他學科的時間，因此要學會利用時間、善于分配時間，提升單位時間的效率，每天花多少時間做數學題，花多少時間在其他學科的作業上，都得有所規劃。長遠來看，時間規劃能力和效率觀念的提升對日後的學習和工作幫助非常大。

去參加全國聯賽之前，我參加過希望杯和江蘇省數學競賽，都拿到一等獎，希望杯高二組還拿了滿分。我們當時的高中數學老師也是一名數學特級教師和奧數優秀教練，他最大的特點是上課時常會即興講一道題，從頭開始嘗試，把整個解題的過程完整地呈現給我們，這期間“走彎路”是常有的事，但正是這種抽絲剝繭的教學方法對我的影響最大，切切實實地提升了我的思維能力。我現在認為，一名優秀的數學老師并不是要教給學生最巧妙的解法，而是要給學生完整地展現整個思考過程。前者會讓學生對數學産生畏懼感，覺得那些巧妙的解法遙不可及，後者才會讓學生覺得，原來這些優美的解法自己通過努力也是可以觸摸得到的。

2005年6月22日，香港喇沙書院的部分4～6年級孩子，這些孩子尤為擅長數學

高三那年，我拿到江蘇賽區第一名，也有些偶然。我記得當時的最後一題我思考了20多分鐘都沒有太好的思路，我還看了下表，離考試結束隻剩下7分鐘，最後一題我還一字未寫。但長期的奧數訓練讓我養成了一種不輕言放棄的品格，在持續的思考中，我在最後一刻找到了解題方法，在5分鐘内以最快速度把整個過程的主要思路和答案寫了下來。從這點來講，奧數比賽與任何比賽都很相似，不到最後一刻永不言棄。如果沒有那份執念，别說第一名，連一等獎也是夠不着的。

拿到了江蘇賽區第一名後，接着就是全國奧數競賽冬令營的選拔考試。全國一共隻有120名學生代表各個省份參加最後的角逐，我記得拍集體照的時候，站在我身邊的是一名重慶石室中學的初三學生，個子比我還要矮上一大截。最後，他入圍了全國前20名，我沒有。那時候，我真正明白了一個道理：天外有天，人外有人。

“套路”的背後

高考時，我拿到了數學滿分。這個成績是在自己意料之中的，因為平時學校的模拟測試中，我的分數基本都在148分以上。參加奧數競賽對高考數學的幫助肯定是巨大的。經過了奧數的思維訓練，應付高考數學的大題會比較輕松一點。當然，要獲得滿分并不容易，還有一些其他因素的影響，特别是細緻和答題的規範性。

大學時我選擇了計算機專業，一方面是因為當時正值互聯網第一次熱潮，計算機學科很火，另一方面也因為計算機本身與數學密切相關。大學期間基本就不接觸奧數了，但奧數的經曆對計算機領域的數學學習是有幫助的。從知識點的角度，奧數裡學的計數、數論、圖論等都是計算機“離散數學”這門專業課的核心内容。從思維的角度，在奧數學習過程中形成的“觀察、發現、猜想、論證”這一理性思維的範式，對學習和研究的幫助更大。

《美麗心靈》劇照

博士畢業後，我成為一名211高校的計算機專業教師（後調入海南師範大學），也有了自己的家庭和孩子。這個過程中，我發現市面上有關數學和奧數競賽的培訓與宣傳多了起來。大概6年前，課外培訓很是瘋狂，我的一位高中同學在朋友圈曬出了自家孩子學等差數列的照片，他家孩子上二年級，他發文說“就不信孩子記不住等差數列的公式”，後來還有一個朋友曬和差問題的口訣。那會兒，我開始意識到，我們的課外數學培訓可能出了問題——在我看來，那不是正确的數學學習之路。

我希望能給大衆普及我認為正确的數學學習方法，所以就開設公号“昍爸說數學與計算思維”，做一些數學教育和數理思維的普及，昍是我兒子的名字。數學公号很難做，沒幾個人願意看數學題。有一句話是這麼說的：多一個公式，就會少一半讀者。即便如此，我還是堅持做了下來，也吸引了不少家長過來，大部分是小學家長。一些家長會上來就問我，“我的孩子課内數學95分以上，适合學奧數嗎”“現在有哪些比賽可以參加”“學奧數需要提前學嗎”這類問題。

一名中國教師在網上教數學

我發現，其實很多家長讓孩子學奧數還是抱着比較功利的心态，對待奧數競賽的态度大緻有兩種：一是希望通過奧數比賽，讓孩子獲得升學資格或為孩子的簡曆添磚加瓦；二是抱着“别人學了，我們也得學，否則就會落後”的心态。真正是孩子有興趣學奧數的，家長反而不用過多地介入和參與。

我感覺，現在家長的很多看法，是被社會上一些不了解奧數的自媒體或懷有某種目的的機構宣傳所左右了。他們會強調奧數是天才的學科、奧數學好了才是天才，很大程度上造成了家長的焦慮。确實，并非所有人都适合學奧數，但奧數并非高不可攀。奧數本身并非一門單獨學科，它和我們的課内數學并沒有明确界限，隻是課内數學的衍生和思維層面的拔高。在奧數解題中所用到的思維和推理方式，比如類比推理、歸納推理、對稱思維、整體思維、極限思維等，都與我們的生活密切相關。奧數裡訓練的這些思維方式，能讓我們在生活中更有條理、更理性、更具思辨能力。雖說現在很多學科都可以培養孩子的思維能力，但無疑，數學依然是最好的思維體操。

我舉個計數的例子，有這麼個題目：比特串是指由數字0和1組成的字符串。請問，在長度為10的所有比特串中，不包含連續兩個1的比特串有多少個？（見上表。）

這道題很多人一開始會覺得沒有思路，但如果我們按照長度從小到大嘗試一下，就會發現符合要求的比特串數量滿足斐波那契數列的特征，自然就有了解題思路。這就是歸納推理遵循的“觀察、發現、猜想、論證”範式。事實上，歸納并非什麼高大上的東西，在我們的日常生活中都會使用。比如，買水果的時候，我們都會先試吃一下，吃了覺得好才會購買，這就是一種歸納思維。

所以我想強調的是，在某種程度上，奧數之前是被市場給妖魔化了，一些培訓和宣傳會把奧數競賽帶偏。有時候我講的一些東西，家長甚至會稱之為“淺奧”，覺得不夠難。但我認為，有一些題目是不能算作奧數的：（1）知識的下移不能算，比如把高中的排列組合公式下放到小學；（2）腦筋急轉彎式的題目不能算，比如這樣的找規律題：6，2，8，2，10，_；（3）套用各種模型和公式去解決一些定制化的問題；（4）非要用複雜的逆向思考去解決用中學知識易于解決的應用題，也大可不必。

《美麗心靈》劇照

現在還有一些培訓機構和教材，特别講究套路。一個曾在培訓機構學數學的孩子跟我說，雖然例題聽得懵懵懂懂，但不妨礙她“依葫蘆畫瓢”，把老師布置的作業做出來。不少孩子解題的列式和答案對了，卻講不出所以然。這是因為按照教材所給的例題模式去套，就能把題目給解了，但例題背後的東西，孩子其實沒有真的理解。

這或許是某些家長樂于見到的：沒聽懂也能做題，這不“香”嗎？但這卻是真正讓我害怕的地方。孩子會做了，就算掌握了，但他們做題時已經先入為主用了例題的思路。在這個過程中，思路或多或少會被固化，創造性被剝奪了。現在很多知識點和模式隻是為了解決量身定做的問題而提出。比如小學奧數裡的很多模型，鳥頭模型、共角模型、蝴蝶模型等。課堂教這些模型，可以用于解決一些定制的問題，但這些模型本身的證明，孩子并未掌握。而恰恰是這些模型背後的原理，才是精髓所在。

《心靈捕手》劇照

這一點可能是我們當下的數學教育中所欠缺的，講究套路，而不重視探索和“想”，最後純粹變成了比誰見過的套路多。這種快餐式教學法還有一個不良的後果：孩子遇到見過的題型做得飛快，但一旦碰到沒見過的題型，就會本能地心生畏懼，提前放棄。其實，學好數學必須要有一股挑戰難題的韌勁。如果不經常花一兩個小時或更長的時間去持續思考，去“啃”一道難題、消化難題，那數學是很難學好的，即便一段時間考了高分，往往也是昙花一現。這就是“慢即是快”的道理。

《原本》的作者歐幾裡得曾說過，“幾何無王者之道”，這點我非常贊同。包括幾何在内，所有數學學習都沒有捷徑可循，需要長久地鑽研與思考，去“想”。數學問題是千變萬化的，隻有修煉好内功，才能以不變應萬變。

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