含有等腰三角形和直角三角形的求弦長問題-tft每日頭條

含有等腰三角形和直角三角形的求弦長問題

生活更新时间:2025-01-28 03:48:33

一、題目

如圖，已知△ABC，AC=BC，以AC為直徑作圓O交AB于點D，交BC于點E，連接DE.CF是圓O的切線，BF⊥CF于點F，若BF=3，CF=4，則DE的長為________.

含有等腰三角形和直角三角形的求弦長問題（含有等腰三角形和直角三角形的求弦長問題）1

二、分析

1、分析主要條件，拓展已知條件

直接給出的有等腰三角形、直角三角形，由等腰三角形容易想到等腰三角形的重要性質——三線合一，由直徑可以聯想到直角三角形，連接AE、CD即可得到兩個直角三角形，由等腰三角形的三線合一可得點D是AB中點，由勾股定理可得BC長，至此問題已基本理清.

2、明确問題類型，細化解題方向

本題屬于求線段長的問題，常用勾股或相似.現已推導出中點，由中點容易想到兩個基本方向：①構造中位線；②構造直角三角形斜邊上的中線.DE正好是RT△ABE斜邊上的中線，隻要能求出AB的長，就可以得到DE的長.

分析至此，求DE的長是比較容易的，有兩種方法：①利用相似和勾股求解；②構造矩形，利用矩形和勾股求解.

三、解答

如圖，連接AE、CD

含有等腰三角形和直角三角形的求弦長問題（含有等腰三角形和直角三角形的求弦長問題）2

在RT△BCF中，由勾股定理，得

BC=√(BF^2 CF^2)=5

∴AC=BC=5

∵AC是圓O的直徑

∴∠ADC=∠AEC=90°

∴AD=BD，∠AEB=180°-∠AEC=90°

∴DE=1/2AB

接下來求AB，分兩種方法：

1、利用相似和勾股求AB長（全等是特殊的相似）

∵CF是圓O的切線

∴∠ACF=90°

易證△CBF≌△ACE

∴AE=CF=4，CE=BF=3

∴BE=BC-CE=2

在RT△ABE中，由勾股定理，得

AB=√(BE^2 AE^2)=2√5

∴DE=1/2AB=√5

2、構造矩形，利用矩形和勾股求AB長

如圖，過點B作BG⊥AC于點G

含有等腰三角形和直角三角形的求弦長問題（含有等腰三角形和直角三角形的求弦長問題）3

易證四邊形BFCG為矩形

∴BG=CF=4，CG=BF=3

∴AG=AC-CG=5-3=2

在RT△ABG中，由勾股定理，得

AB=√(BG^2 AG^2)=2√5

∴DE=1/2AB=√5.

四、小結

1、求線段長，勾股或相似；

2、遇直徑，構造直角三角形；

3、遇中點，構造中位線或直角三角形斜邊上中線.

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