費馬猜想

1637年左右，法國數學家費馬在閱讀丢番圖《算術》拉丁文譯本時，在第11卷第8命題旁寫道：“将一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次幂分成兩個四次幂之和，或者一般地将一個高于二次的幂分成兩個同次幂之和，這是不可能的。關于此，我确信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”

1994年，普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒于1994年成功證明。證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，安德魯·懷爾斯由于成功證明此定理，獲得了1998年的菲爾茲獎特别獎以及2005年度邵逸夫獎的數學獎。

四色猜想

1852年，弗南西斯·格思裡在給地圖着色時，發現了一種有趣的現象，每幅地圖都可以用四種顔色着色，使得有共同邊界的國家着上不同的顔色。也就是說，将平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來标記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。

1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，做了100億次判斷，終于完成了四色猜想的證明。

四色問題研究過程中，不少新的數學理論随之産生，也發展了很多數學計算技巧。不僅如此，“四色問題”在有效地設計航空班機日程表，設計計算機的編碼程序上都起到了推動作用。

哥德巴赫猜想

1742年6月7日，哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉，提出了以下想法：任何一個大于等于6的偶數，都可以表示成兩個奇質數之和；任何一個大于等于9的奇數，都可以表示成三個奇質數之和。比如77，可以把它寫成三個素數之和，即77=53 17 7；又如461可以寫成257 199 5，仍然是三個素數之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。

1742年6月30日歐拉先生給哥德巴赫回信：這個命題看來是正确的，但是暫給不出嚴格的證明。同時歐拉對上述命題做了修改：任何一個大于2的偶數都是兩個素數之和。這個歐拉版本是現在常見的猜想陳述，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關于偶數的哥德巴赫猜想”。1966年陳景潤證明了'1 2'成立，即'任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和，或是一個素數和一個半素數的和'。

從關于偶數的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇數都可寫成三個質數之和的猜想。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關于奇數的哥德巴赫猜想”。弱哥德巴赫猜想尚未完全解決，但1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素數定理”。

蜂窩猜想

4世紀古希臘數學家佩波斯提出：人們所見到的、截面成六邊形的蜂窩，是蜜蜂采用最少量的蜂蠟建造成的。他的這一猜想被稱為蜂窩猜想。

匈牙利數學家陶斯巧妙地證明在所有首尾相連的正多邊形中，正六邊形的周長是最小的，但他沒有證明如果多邊形的邊是曲線時的情況；黑爾在考慮了周邊是曲線時，無論是曲線向外突，還是向内凹，都證明了由許多正六邊形組成的圖形周長最小。

冰雹猜想

角谷猜想又稱冰雹猜想，它首先流傳于美國，然後傳到歐洲，後來有一位叫角谷的日本人帶到亞洲，所以稱為角谷猜想。

1976年的一天，《華盛頓郵報》于頭版頭條報道了一條新聞，記叙美國各所名牌大學校園内，人們都像發瘋一般，廢寝忘食地玩弄一種數學遊戲。這個遊戲十分簡單：任意寫出一個自然數N（N≠0），并且按照以下的規律進行變換：如果是個奇數，則下一步變成3N 1。如果是個偶數，則下一步變成N/2。

人們發現，無論N是怎樣一個非零自然數，最終都無法逃脫回到谷底1。例如x=52，可以陸續得出26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1。如果再做下去就得到循環：(4，2，1)，再試其他的自然數也會得出相同的結果。

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