【考試要求】

1.結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性；對于多項式函數，能求不超過三次的多項式函數的單調區間；

2.借助函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；

3.能利用導數求某些函數的極大值、極小值以及給定閉區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值；體會導數與單調性、極值、最大(小)值的關系.

【知識梳理】

1.函數的單調性與導數的關系

函數y＝f(x)在某個區間内可導，則：

(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區間内單調遞增；

(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區間内單調遞減；

(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區間内是常數函數.

2.函數的極值與導數

【規律方法】　1.求函數單調區間的步驟：

(1)确定函數f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)在定義域内解不等式f′(x)>0，得單調遞增區間；(4)在定義域内解不等式f′(x)<0，得單調遞減區間.

2.若所求函數的單調區間不止一個時，用“，”與“和”連接.

1.(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類讨論.

(2)劃分函數的單調區間時，要在函數定義域内讨論，還要确定導數為0的點和函數的間斷點.

2.個别導數為0的點不影響所在區間的單調性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數.

【規律方法】　1.利用導數比較大小，其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數，把比較大小的問題轉化為先利用導數研究函數的單調性，進而根據單調性比較大小.

2.根據函數單調性求參數的一般思路

(1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區間(a，b)是相應單調區間的子集.

(2)f(x)是單調遞增的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子區間上，f′(x)不恒為零，應注意此時式子中的等号不能省略，否則漏解.

(3)函數在某個區間存在單調區間可轉化為不等式有解問題.

【反思與感悟】

1.已知函數解析式求單調區間，實質上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解區間，并注意函數f(x)的定義域.

2.含參函數的單調性要注意分類讨論，通過确定導數的符号判斷函數的單調性.

3.已知函數單調性求參數可以利用給定的已知區間和函數單調區間的包含關系或轉化為恒成立問題兩種思路解決.

【易錯防範】

1.求單調區間應遵循定義域優先的原則.

2.注意兩種表述“函數f(x)在(a，b)上為減函數”與“函數f(x)的減區間為(a，b)”的區别.

3.在某區間内f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件.

4.可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是：對∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子區間内都不恒為零.

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