楊輝三角有哪些特點?理越辯越明 課越論越優，下面我們就來說一說關于楊輝三角有哪些特點?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

楊輝三角有哪些特點

理越辯越明 課越論越優

——全國優秀課“楊輝三角中的一些秘密”展示現場的辯論與點評

任偉芳（浙江省甯波市鄞州區教育局教研室）

陳碧文（浙江省甯波市鄞州區正始中學）

摘要：通過展示執教教師和評課專家、現場觀摩教師的互動交流，讨論如何在課堂教學中，把學生自主探究落在實處，如何在課堂上更好體現數學的文化價值。

關鍵詞：全國優秀課；探究課典範；系列問題；辯論與點評

不久前，浙江省優質課第一名陳碧文老師（以下統稱“授課教師”）在參加重慶舉行的全國“2014年高中青年數學教師優秀課展示與培訓活動”中，用新課程理念設計的探究課“楊輝三角中的一些秘密”得到了評委專家的一緻肯定與贊賞，榮獲全國一等獎并奪得了大會最優秀選手獎。該課題選自人教A版教材選修2—3第一章後的“探究與發現”。數學探究是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程，因此在課堂模式上采用了探究式教學。大會組委會為了使參會教師更好地熟悉上課教師的教學設計，特别安排15分鐘現場展示後的答辯環節。執教者、評委專家和現場教師對課堂上一些疑難與困惑進行了唇槍舌劍的辯論，不時發出陣陣掌聲和會意的笑聲，答辯與點評精彩紛呈。筆者是該課的指導者和展示活動的參與者，下面把展示現場的辯論和點評整理成文，供大家參考。

一、現場答辯

師1：這節課是一節很漂亮的課，年輕教師選擇這樣一節課來上，确實很不錯。這是一個很難上好的内容，我對于這節課比較感興趣的地方是數學文化的滲透，從開始一直到最後，都在做這方面的工作。我想請你給大家談談這方面的體會。

授課教師：數學文化對于我門中國曆史來說是源遠流長的，在整個中國曆史文化當中，數學史貫穿古今。對現在學生來說，在平時課堂教學中，我們不僅僅要注重數學思維、計算能力的培養（當然這也非常重要），而且還要關注數學文化。在課堂上一些數學文化的滲透能極大地提高學生對數學的興趣，培養他們數學鑒賞的能力，體會數學的美學價值和數學家的創新精神，這也間接地培養學生的數學思維。在平時上課的時候，我會講一些小故事，調節一下課堂氣氛，學生學習效率也會有很大的提高，數學文化學生都比較感興趣。

師2：這節課在數學文化上有比較深的滲透，但是有兩點我覺得需要思考。第一點，伏羲依據河圖演繹了八卦，大禹依據洛書劃分了九州，這不是史實，而是傳說，傳說作為課堂教學内容加以引入，而且講得如此生動，是否恰當？第二點，河圖、洛書出來以後再也不用了，就為了引入一個數陣，然後就開始研究一個特殊的數陣——楊輝三角，這樣的教學設計是不是有一點喧賓奪主的感覺？

授課教師：在這節課上我想體現一種曆史的傳承，事實上，楊輝對于楊輝三角有一個非常深入的研究。另一方面，楊輝又是一個研究幻方的大家，因此，我想在課開始的時候做一個銜接。

師3：我隻想在這個展示課堂上給授課教師的課進行一點錦上添花，大家可以暢想一下，從發散性思維和創新思維這方面來講，不知道你們的學生有沒有橫向相加得到一些數據，并對這些數據加以研究？我們離開數學之外，感覺到楊輝三角對于生命的意義。例如，換一個角度來看，上面一個1，然後一個1分解成下面兩個1，然後再下面分解聚合……從發展的眼光來看，我們自然界中任何生物分解成細胞之後，它們都似乎蘊含着神秘的數字規律，所以數學中的排列組合很貼近生命的規律，這樣一個規律的排列，我們可以從數的角度思考挖掘很多東西，這樣的遐想可以不作為這節課的核心，但可以作為花絮讓學生插上想象的翅膀，它蘊含着一種細胞分裂的數感。還有，我們可以用楊輝三角來解釋宇宙的誕生，最開始是一個氫原子，後來開始聚合，産生了新的元素……教學上有好的素材就要好好利用，我們在課堂上要讓學生展開聯想，提高學生的想象能力，雖然占用了課堂教學的一點點時間，我看還是非常值得的。

師4：你這節課是一節“探究與發現”課，這樣的新課型，你設計這節課教學的定位是怎麼考慮的？

授課教師：這節課的定位是一節知識拓展類的選修課程，它與必修課程是有所區别的。我的基本想法是在課堂上滲透一些數學中的思維方法，培養學生發現問題、分析問題、處理問題和解決問題的能力，通過這節探究課讓學生在這堂課中去收獲點什麼。課标指出，高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的曆程，發展他們的創新意識。所以我把單純的對楊輝三角的研究提升到對一個數陣的研究，學生通過這節課的學習會有一些不同的收獲，在以後碰到其他的一些數陣的時候，他們也會有一種處理方式，正所謂授人與魚，不如授人與漁。

師5：我順着師3的思路來講，我們不能在這節課中隻停留在視圖上面，能不能在構圖上面再推進一步？也就是說不僅僅要認識數陣，研究數陣，我們還要學會如何去構造數陣。

授課教師：應該說這節課後面的拓展内容還是非常多的。我在課堂上已經拓展到了分形數學的概念，接下去拓展的話可以從三維數陣的角度，甚至是多維數陣的角度進行拓展。至于構造的話，它可以通過不同的排列、不同的規律去進行構造，事實上要抓住數陣的本質，就是一個數列的二維化過程，課堂上最後一位學生的回答給了我很大的驚喜，他認為數陣與數列是有關聯的，并與我讨論了萊布尼茨三角，如果從數列角度去研究的話也會有一系列的性質。因此，對于數陣的構造，我們可以抓住數列的本質，從通項、遞推關系與求和等這幾方面入手進行研究。

二、小結點評

師4：各位教師，下面我對這節課做一個點評，“楊輝三角中的一些秘密”這節課是人教A版教材選修2-3中一節“探究與發現”内容，它在教材中并不是我們必須要教的内容。今天這堂課的授課教師主要采用了一種合作探究的方式為大家演繹了耳目一新、别具一格的一堂課。這堂課留給大家很多的想法，因為這堂課當中信息量非常多。如果把它梳理一下，有幾個特點或者是亮點。第一，這節課的教學設計，教學的定位與我們平時的教學有很大的差異，應該說有很多的新意。第二，剛才我們一位專家也說了，教師在這堂課中滲透了數學的文化，處處有數學文化的影子，從引入到收尾。教師在對教材二次開發過程中挖掘了很多數學史料進行課堂教學，我覺得這樣處理很不錯。第三，教師在探究教學上面下了功夫，而且下足了功夫。課堂上他把學生分成了六組，讓學生分組彙報探究的成果，引導學生橫看、側看、遠看、近看楊輝三角，探究到一些鮮為人知的結論，有幾個結論實話說當時我自己都不太熟悉。例如，探究出了梯形五個數相加等于隔開一行下面的一個數，這個結論我們不太熟悉。還有一個結論，楊輝三角每一行數字錯一位疊加得到11的若幹次幂，這個結論也比較隐蔽，當然也包括謝爾賓斯基三角形。探究得到了很多優美的結論，這對學生來說是一件很不容易的事情。教師通過學生的最近發展區設計了這麼一個教學起點，讓學生探究到這些優美的結論，其實學生不僅僅獲得了這些結論，關鍵是讓學生學會了探究的方法，我覺得這是本節課中的一個亮點。第四，教師的課注重了數學的本質，培養學生觀察、概括、猜想的能力。整節課知識的容量非常大，信息也比較廣，處處引領學生進行探究。我明顯地感覺授課教師的課堂教學有足夠的高度，這是難能可貴的。

這節課也有一些商榷的地方，包括剛才師2所說的，課堂通過河圖洛書引入，而這個内容對我們來說太陌生了，能不能從學生最熟悉的地方來切入新課的教學，這是需要考慮的。另外，在合作交流中組與組之間探究的成果，課堂彙報後，這一組交流的成果，對于研究過的這一組來說是比較熟悉的，而另外幾組就不一定很熟悉，教師怎麼樣在進一步認知過程中讓沒有經曆過探究的那一組也能夠理解其他組的那些結論，這是需要我們關注的課題。當然，教師完整授課的光盤我看了，他探究的結論都進行了嚴密的論證，這點我很贊賞。但是有一點顧慮，研究這塊内容的小組有了足夠的認識，而沒有研究的小組在内容的認知上可能産生一定的困難，在這個問題上我們是不是值得研究呢？

師2：我來補充一點，這節課展現了如何上好一節探究課，為我們提供了很好的教學模式。聽課教師可能會有疑慮，授課教師的學生是甯波市正始中學的創新班，他可以做，我們回去後怎麼做呢？心理上會有這樣的疑慮。據我分析，科學探究課，一是要教學生科學探究的程序和方法，首先要分析，怎麼分析學生要知道，如這節課的探究方法是橫看、斜看、遠看、近看。二是科學探究需要在觀察之後大膽猜想、總結規律，得出結論，并進行小心求證，這隻是科學探究外在的形。三是科學探究要教的還有一種探索精神，科學探究從某種角度來講，哪怕這一堂課學生什麼結論都沒得到，但是我給學生做了探究的體驗，科學探究的目的同樣也就達到了，因此科學探究還有一個重要目的是讓學生經曆一個探究的體驗過程。

三、結束語

課堂藝術是一門遺憾的藝術，教學設計要考慮到學生的學情、課程标準和數學學科特點等方方面面，俗話說：“理越辯越明，道越論越清”。因此，數學課隻有經過不斷地錘煉和切磋才能成為真正的優秀課。“2014年高中青年數學教師優秀課展示與培訓活動”為一線教師提供了與同行、專家辯論教學理論和實踐的教研平台。

參考文獻:

[1]中華人民共和國教育部制訂．普通高中數學課程标準（實驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003.

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[3]任偉芳．“工具性理解”“關系性理解”和“創新性理解” [J]．數學教育學報，2014（4）：69-73．

[4]趙緒昌．例談生成性教學資源的利用策略[J]．中國數學教育（高中版），2012（5）：12-14．

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