同學們，在初中數學的課本中，我們學習了三角形這個基本又常見的幾何圖形，但是我們了解三角形有幾心嗎，有那幾心，他們又都有什麼特點，且聽我在這裡為大家解說：

三角形的四心定義：

1、内心：三角形三條内角平分線的交點，即内切圓的圓心。

内心是三角形角平分線交點的原理：經圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點到角兩邊距離相等）。

2、外心：是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。

外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點。該點叫做三角形的外心。

3、中心：三角形隻有五種心重心、垂心、内心、外心、旁心，當且僅當三角形是正三角形的時候，四心合一心，稱做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三邊中線的交點。

三角形的外心的性質：

1.三角形三條邊的垂直平分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心；

2三角形的外接圓有且隻有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的内接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合；

3.銳角三角形的外心在三角形内；

鈍角三角形的外心在三角形外；

直角三角形的外心與斜邊的中點重合。

在△ABC中

4.OA=OB=OC=R

5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

6.S△ABC=abc/4R

三角形的内心的性質：

1.三角形的三條角平分線交于一點，該點即為三角形的内心

2.三角形的内心到三邊的距離相等，都等于内切圓半徑r

3.r=2S/(a b c)

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a b-c)/2．

5.∠BOC = 90 ° ∠A/2 ∠BOA = 90 ° ∠C/2 ∠AOC = 90 ° ∠B/2

6.S△=[(a b c)r]/2 (r是内切圓半徑)

三角形的垂心的性質:

1.銳角三角形的垂心在三角形内；

直角三角形的垂心在直角頂點上；

鈍角三角形的垂心在三角形外。

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或

者說，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

例如在△ABC中

3. 垂心O關于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓圓上。

4.△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF

5. H、A、B、C四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一—垂心組)。

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。

7.在非直角三角形中，過O的直線交AB、AC所在直線分别于P、Q，則 AB/AP?tanB AC/AQ?tanC=tanA tanB tanC

8.三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。

9.設O，H分别為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10.銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其内切圓與外接圓半徑之和的2倍。

11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的内心；銳角三角形的内接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。

12.西姆松(Simson)定理（西姆松線）：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點落在三角形的外接圓上

13.設銳角△ABC内有一點P，那麼P是垂心的充分必要條件是PB?PC?BC PB?PA?AB PA?PC?AC=AB?BC?CA。

14.設H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分别為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别為△AEF，△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1H2H3。

15.三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分别平行于原三角形外接圓在各頂點的切線。

三角形的重心的性質:

1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是頂點坐标的算術平均，即其坐标為((X1 X2 X3)/3,(Y1 Y2 Y3)/3)；

空間直角坐标系——橫坐标：(X1 X2 X3)/3 縱坐标：(Y1 Y2 Y3)/3 豎坐标：（Z1 Z2 Z3）/3

5.重心和三角形3個頂點的連線的任意一條連線将三角形面積平分。

6.重心是三角形内到三邊距離之積最大的點。

三角形旁心的性質:

1、三角形一内角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。

2、每個三角形都有三個旁心。

3、旁心到三邊的距離相等。

三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的内角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。

以上就是為大家關于三角形的心的解說，希望這些内容對大家在以後數學試題的練習，現實生活應用中會有一定的幫助，祝同學們學習愉快。

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