《一元二次方程》是中考的核心考點，涉及到的内容、題型繁多，因此對這個知識點将分兩部分内容講解：1、一元二次方程的基礎知識、基本考點和基本解題方法的歸納總結；2、從2018年各地的中考試卷上精選習題，講練結合，進一步強化提高.

本篇是第一部分，以《一元二次方程》的雙基知識為主.

【考點1】一元二次方程及其解法

1. 一元二次方程必須具備三個條件：
2. (1)必須是整式方程；

(2)必須隻含有1個未知數；

(3)所含未知數的最高次數是2．

2.一般形式：

3. 一元二次方程的解法：

（1）直接開平方法，适用兩種題型

①當方程缺少一次項時，即方程ax^2＋c＝0(a≠0，ac<0)；

②形如(x＋m)^2＝n(n≥0)的方程.

（2）配方法，理論上隻要有實數根的的一元二次方程都可用此法，步驟：

①變形：把二次項系數化為1；②移項：把常數項移到方程的右邊；③配方：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；④用直接開平方法求解.

（3）公式法，适用于所有一元二次方程，求根公式為

注意事項：

①使用求根公式時要先把一元二次方程化為一般形式，方程的右邊一定要化為0；

②将a，b，c代入公式時應注意其符号；

③若b^2－4ac<0，則原方程無解.

（4）因式分解法，适用題型為“左邊能分解因式，右邊為0的一元二次方程”，解題步驟：

①将方程右邊化為0；②将方程左邊進行因式分解；③令每個因式等于0，得兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程得到原方程的根.

歸納：解一元二次方程的核心思想是降次，即将一元二次方程轉化為兩個一元一次方程.解一元二次方程需要根據方程的特點選用合适的方法，對四種解法要靈活運用.

例1、 下列方程是一元二次方程的是________．

① x^2＋2x－8＝0；② x^2＋5＝0；③ (x^2＋3)^2＝0；④ x^2＋1/x＝6；⑤ 5x^2－6y－1＝0.

解析：③中把括号去掉後未知數x的最高次數是4，④中1/x屬于分式，⑤中含有兩個未知數x和y，因此它們都不是一元二次方程.故正确答案是：①②.

例2、若

是關于x的一元二次方程，則a的值為( )

A. 3 B. －3 C. ±3 D. 無法确定

解析：∵此方程是關于x的一元二次方程，∴ a^2-7=2 解得a=±3，當a=3時，方程第一項為0變成了一元一次方程，所以a=3舍去，則a=-3，答案是：B.

點評：判斷方程是否是一元二次方程時，一定要注意不能使二次項的系數等于0.

例3、（易丢分題）方程x(x－1)＝2(x－1)^2的根為( )

A. 1 B. 2 C. 1和2 D. 1和－2

解：方程兩邊同時除以公因式(x－1)，得：x＝2(x－1)……第一步

移項得：x－2(x－1)＝0……第二步

去括号得：x－2x＋2＝0……第三步

解得：x＝2.……第四步

上述解析過程是從第一步開始出現錯誤的，此題的最終結果是C．

錯誤剖析：對于左右兩邊含有相同未知數因式的一元二次方程，應将方程化為一般式後再求解(或将方程變為等号一邊為0，另一邊含未知數的式子，利用因式分解法求解)，切勿直接約去含有相同未知數的項而丢根．

【考點2】一元二次方程根的判别式及根與系數的關系（高頻考點）

1、根的判别式：

一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式為b^2－4ac.

①b^2－4ac>0⇔方程有兩個不相等的實數根；

②b^2－4ac=0⇔方程有兩個相等的實數根；

③b^2－4ac＜0⇔方程沒有實數根.

2、一元二次方程根與系數的關系：

設一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩實數根為x1和x2，則有x1 x2=-b/a，x1·x2=c/a.

注意事項：

（1）在使用根的判别式解決問題時，如果二次項系數中含有字母，一定要考慮二次項系數不為0這個限制條件；

（2）利用根與系數關系解題時，要注意根的判别式b^2－4ac≥0；

（3）根與系數的兩個推論：

①如果方程x^2＋px＋q＝0的兩個根是x1和x2，那麼x1 x2=-p，x1·x2=q；

②以兩個數x1和x2為根的一元二次方程（二次項系數是1）是x^2-（x1 x2）x＋x1·x2＝0.

例1、（易丢分題）若關于x的一元二次方程(k－1)x^2＋4x＋1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是________．

解：∵關于x的一元二次方程(k－1)x^2＋4x＋1＝0有兩個不相等的實數根，∴b^2－4ac＝16－4(k－1)>0，即4－k＋1>0，k<5.

錯誤剖析：上述解法錯在忽略了二次項系數不能為0的情況，此題的正确結果應是k＜5且k≠1．

例2、（2017·湖北鹹甯）已知a，b，c為常數，點P（a，c）在第二象限，則關于x的方程ax^2 bx c＝0的根的情況是（ ）

A.有兩個相等的實數根 B.有兩個不相等的實數根 C.沒有實數根 D.無法判斷

解析：因為點P（a，c）在第二象限，所以a＜0，c＞0，則可知ac＜0，由此可推出b^2-4ac＞0. 因此，原方程有兩個不相等的實數根，故選B.

點評：根的判别式的三個作用：①不解方程，直接判斷一元二次方程根的情況；②根據方程根的情況，确定某個未知系數的值(或範圍)；③證明一個一元二次方程根的情況．

例3、（2017青海西甯）若x1和x2是一元二次方程x^2＋3x-5＝0的兩個根，則

的值是________．

解析： ∵x1、x2是原一元二次方程的兩個根，∴x1 x2=-3，x1·x2=-5. ∴要求的代數式可化為 x1·x2（x1 x2）=-5×（-3）=15.

點評：一元二次方程根與系數的關系的應用主要體現在以下幾個方面：

①驗根，不解方程，利用根與系數的關系可以檢驗兩個數是否是原一元二次方程的兩個根；

②由已知方程的一個根，可以求出另一個根及未知系數；

③已知方程的兩個根，求這個一元二次方程；

④已知兩個數的和與積，求這兩個數；

⑤不解方程，利用根與系數的關系求關于x1，x2的代數式的值，此時需要熟練掌握以下重要的變形：

【考點3】一元二次方程的實際應用

1、列一元二次方程解應用題的步驟：審、設、列、解、驗、答六步；

2、常見的應用題類型：

（1）平均增長(下降)率問題方法歸納

設a為原來量，m為平均增長率，n為增長次數，b為增長後的量，則a×（1 m）^n=b；當x為平均下降率，n為下降次數，b為下降後的量時，則a×（1-m）^n=b．

注意事項：增長率問題所列的一元二次方程一般用直接開平方法求解．

（2）利潤問題——“每每模型”方法歸納

題幹中已知量為進價a元，原售價b元，銷量m件，銷量随售價每提高(降低)d元而減少(增加)c件，獲得利潤n元．

①若設售價x元，則列式為

②若設提(降)價x元，則列式為

③若題幹中已知量為：盈利a元，銷量m件，銷量随售價每提高(降低)d元而減少(增加)c件，獲得利潤n元．設提高(降低)x元，列式為(a±x)(m∓cx/d)＝n.

（3）面積類問題常見圖形方法歸納

①如下圖，設空白部分的寬為x，則S陰影＝（a-2x）（b-2x）；

②如下面3個圖，雖然形狀不同，其實列出的方程是一樣的，若設空白道路的寬為x，則S陰影＝（a-x）（b-x）；

③如下圖，圍欄總長為a，BC的長為b，則S陰影＝（a-b）/2×b.

（4）握手、單循環賽與送禮物類方法歸納

握手總次數、單循環賽的場次＝n(n－1)/2；送禮物總份數＝n(n－1)．

例1、某商品經過連續兩次降價，銷售單價由原來的125元降到80元，則平均每次降價的百分率為________．

解析：設每次降價的百分率為x，則由題意可得125（1-x）^2=80 可化為（1-x）^2=16/25，可得1-x=±4/5（-4/5不合題意故舍去）∴1-x=4/5 ∴x=1/5，即每次降價的百分率為20%.

例2、我市為了增強學生體質，開展了乒乓球比賽活動．部分同學進入了半決賽，賽制為單循環形式(即每兩個選手之間都賽一場)，半決賽共進行了6場，則共有________人進入半決賽．

解析：設有x人進入了半決賽，因為半決賽共進行了6場，所以x（x-1）/2=6，解此方程得x1=-3（舍去），x2=4.故答案為4.

例3、（2017·山東菏澤）某玩具廠生産一種玩具，按照控制固定成本降價促銷的原則，使生産的玩具能夠及時售出，據市場調查：每個玩具按480元銷售時，每天可銷售160個；若銷售單價每降低1元，每天可多售出2個.已知每個玩具的固定成本為360元，問這種玩具的銷售單價為多少元時，廠家每天可獲利潤20000元？

解析：設這種玩具的銷售單價為x元時，廠家每天可獲利潤20000元. ∵銷售單價每降低1元，每天可多售出2個，∴ 現在每天銷售[160 2（480-x）]個，可得方程（x-360）×[160 2（480-x）]=20000，整理可得x^2-920x 211600=0，即（x-460）^2=0，解得 x1=x2=460，∴ 這種玩具的銷售單價為460元時，廠家每天可獲利潤20000元.

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