周末輔導孩子數學作業，發現一道題目，如下：

已知有甲和乙兩自然數，甲和乙之差為207，當把甲向左移動一位小數後，甲乙相等，求甲和乙分别是多少？

對于這道題，相信大家都會解，解法多樣，有算術的方法，也有代數的方法。在這裡我主要是想通過這道題，從思維的角度分享一下算術向代數的發展。

算術與代數是數學最古老的分支，它們作為數學的基礎内容又是中小學數學學習中的重要内容。算術的發展演變，符号的誕生以及算術向代數的發展，表現了數學思維方式中數量形式和内容之間的變化與發展。

一．算術與數學符号的數量性思維

算術的主要内容是有關自然數，分數和小數的性質及相關的四則運算。算術的形成是人類在認識現實世界數量關系上邁出的重要一步，是人類社會實踐活動取得的重要成果之一。有了算術這個工具，人類才開始從數量的意義來思考世界。

數字符号，運算符号作為一種特定的數學形式，或者說作為最基礎的數學符号，經過了世界上不同民族的不間斷的創造過程。世界上對古代文明做出重大貢獻的民族都為這中特定的數量符号做出過貢獻。

現今應用的阿拉伯數字1，2，3，4，5，。。。始于印度，後來傳入阿拉伯，最後傳入歐洲。0的符号比1到9這九個符号的産生還要晚得多。由此可見，作為表示數量關系的符号，作為人類數量化思維的最初語言，數學符号的問世表明了人類數量化思維的曆史過程。

數量符号脫離了事物原有屬性，是一種抽象化，數量化的符号，人們運用這些形式進行數量化的表示，并且運用這些符号進行數量化的思維，這是算術為人類數學做出的最重要的貢獻。

今天孩子們都可以很容易掌握的數量運算和數字符号，卻經曆了漫長的形成過程。世界上原本沒有符号，但後來的數字符号和由此而來的四則運算符号都是我們人類思維的創造。

隻是由于算術内容與現實生活的密切聯系，使人們并不感到自然數的抽象性，但是作為算術的内容與形式所包含的數量思維意義是不能忽視的。

算術理論的發展雖然為人類早期的社會解決了許多的問題，但是它的局限性也暴露了出來。算術的思維方式，是以現有的具體的，已知的數字符号進行思維表述的，這種數量關系依靠的是具體的，已知的，确切的數字符号，不允許有不可知的數量符号參與運算。這樣一來，運用算術方法解決問題時，首先根據要解決的數量問題，收集整理各種已知的數量，并依據他們之間的數量關系列出這些具體數據的算數式，然後通過加減乘除的四則運算求出算是的結果。許多古老的應用問題，如行程問題，工程問題，流水問題，分配問題等，都是應用這種數量化的思維方式表示。

算術解題的思維方式的關鍵，是把已知的數量符号運用加減乘除連接起來，建立起解決問題的數學算式。這種思維方式對于具有比較簡單數量關系的問題，列出相應算式并不難，但對複雜數量關系的實際問題，要按算術解題思維方式求解，往往難度很大。對于一些含有多個未知量的實際問題，要想通過算術的思維方式，由已知數量把算是列出求解，有時甚至是不可能的。

算術的思維方式，無論是在中國古代，還是在古希臘都曾經相當輝煌過。現代數論的許多問題都是源于古希臘時的算術理論，這些都充分表明了算術思維方式在當時産生的積極作用。算術思維方式對已知數的依賴和對未知數的排斥，說明這種特定的數學符号形式與運算形式已經跟不上不斷發展的數學内容。數學内容的發展要突破算術思維方式的局限。

二．算術向代數的發展

代數解決問題的思維方式中最關鍵的思想是，把未知量作為一個同已知量有相同意義的數量符号同已知量一起組成關系式，并按等量關系由等号相連列出方程，然後通過方程的恒等變換或同解變換等求出未知量的數值。

代數的思維方式有兩點比算術優越。

第一，代數的思維方式把未知數看作是同已知數一樣可參與運算的數學符号，未知數作為一個特定的數學符号在等式中有着與已知數相同的意義。

第二，代數的思維方式對相等有更靈活的認識，解方程中強調每一步得到的都是等式，而上一方程與下一方程并不一定相同。例如。3X 5=2X 6得到X=1，隻能說明兩方程同解而并非相等。在算術中，一個算式的多步演算中，每步都要保持相等關系。

算術向代數的發展，使數學思維的範圍擴大了。未知數已經作為一個抽象的符号進入了數學思維。思維方式的擴展，帶來了數學内容的擴大，代數運算具有了算術所不具有的靈活性和普遍性。許多算術不能解決的問題，在代數中可以很容易的得到解決。

從數學思維的意義上看，數學思維方法的改變，擴大都會帶來數學本身的進步。數學從算術向代數的發展，代表了數學思維方式的改變。這種改變不僅是擴大了算術的應用範圍，更為重要的是，這種數學思維的改變對整個數學的發展都産生了重大而深遠的影響。例如，對二次方程的求解，使人們創造了虛數；對五次以上方程的求解，最終導緻了群論的誕生；把代數的思想方法應用于幾何問題上，最終導緻了解析幾何的問世。

三．數量化思維的形式于内容

數學具有高度抽象性，這種抽象以形式化為特點。形式化在算術和代數的範疇内就是一種數量的形式，即現實世界真實的數量關系由特定的數字符号，運算符号和關系符号表示出來。

數學的形式化特點，往往使人們把數學看作是一個毫無内容的符号邏輯表達體系，但是實際上這些形式代表了特點的内容。數學的思維方法在算術向代數的發展中，從數量方面揭示了形式所包含的内容。數學的内容在于它反映了事物間的數量變化規律，在算術與代數中形式與内容相比較，内容是積極，活躍的，居第一位，這一點與哲學表述的定義是相同的。正是表示數量關系的活躍，才使數學方法從算術向代數發展。未知量作為同已知量相同意義的内容參與數量關系式的計算，使數學的抽象化數量形式從算術發展到代數。當然，今天我們從思維方法來考察數學的形式與内容時，它已經不再隻是表示數量關系的内容，數學思維層面上的模式化構造已進入了數學的内容與形式之中。

對于中小學的數學教育，算術向代數發展的數學思維方式的演變可以帶給我們兩點啟示：

第一，數學的形式與内容中，當我們認識到數學是一種形式的時候，更應注意這種數學形式所反映的内容。無論是對象符号（如1，2，3，......，∏，a，b，c等），數學運算符号（ ，-，×，÷等），還是數學關系符号（=，<，>等）都具有與特定内容的相關性。如果中小學生隻認得抽象符号而不理解或不會運用數學符号，那麼抽象的符号就失去了在數學思維中的語言符号作用了。

第二，數學的形式都與具體内容相關，尤其是算術與代數的學習，更應注重内容與形式的結合。從思維發展過程來說，從算術思維向代數思維的過渡，是中小學生必然經曆的一個過程。從這種意義上來說，過分追求算術思維的難度不僅對培養學生的數學興趣，數學愛好不利，而且對進一步代數思維的發展也無必要。

在數學教育的意義上，明确和理解算術向代數發展的思維規律，還可以使我們的教育理念有所改變。作為數學的曆史，作為人類的數學思維發展過程，算術思維曾在曆史上經曆過相當長的實踐，并留下了由相當難度的習題。過分追求算術思維的難度（目前在國内有廣泛市場的中小學奧數競賽就有此傾向），常常不自覺的違背了算術向代數發展的思維規律。有學者批評：現在國内熱衷的中小學數學競賽，就太過于強調技巧。其實我們的學生從中學開始就應該接受多方面的知識熏陶，讓孩子多看名人傳記，培養他們對科學的好奇心。

從數學教育的意義上分析，算術向代數的數學思維發展，可以成為算術難題代數化的一個表現形式。由算術的繁難到代數的簡化可以引起學生學習數學的興趣，好奇，而不是用繁難的技巧使學生的好奇心受挫折。

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