因式分解的方法很多，除了常用的一提二套三分組，還有換元法，添項、拆項法，待定系數法等等，十字相乘法是待定系數法裡面的一種特殊情況，它的适用範圍也非常廣，不僅用于因式分解，在一元二次方程、二次函數相關題目也經常出現。所以我們今天就來研究一下十字相乘法。

不知道出于什麼原因，在現行初中教材中，十字相乘法已經被删除，變成了選學内容，但是有經驗的老師都會像上新課一樣，把這部分知識傳授給學生，畢竟它的作用顯而易見。

類型1：二次項系數為1的二次三項式；

這種類型的題目，可以直接使用十字相乘法的基本公式：

十字相乘法公式

它們都有很明顯的特征：

• 二次項系數為1
• 常數項是兩個數的積
• 一次項系數等于常數項兩因數的和

我們來看下面這兩個例題：

例1：

雖然是十字交叉相乘，但是結果要把橫着的兩個部分組成一個因式，請注意這一點。

例2：

類型二：二次項系數不為1的二次三項式

一般形式：

這種類型用十字相乘法需要經過多次嘗試，因為a和c都能分成兩個因數的積，然後要交叉相乘求和，還要考慮符号，做題的時候一定要十分謹慎，不要因為符号或者漏寫而丢分。

例3：

當數字比較大，或者是含有字母的整式時，數感的作用就出來了，數感，大家還有印象嗎？

數學速算技巧（四）數感

上面這些例子都是一元的，也就是隻含有一個未知數，那麼，當我們碰到二元或者三元的因式分解題目時，又應該怎麼做呢？

類型三：二元齊次三項式

顧名思義，就是含有兩個未知數，且每一項的次數都相等的三項式。含有兩個未知數，我們就要選擇一個字母作為主元（主元法），另一個字母可以當作常數來看。

例4：

兩個需要注意的地方：

• 有序地列出因數組合去嘗試
• 試出一組确定組合就停
• 因為因式分解具有唯一性

除了上述三種基本類型外，還有很多複雜的因式分解可以使用十字相乘法，而且我前面也提到過，大多數的因式分解題目（包括分式相關題目），都不是僅用單一方法就可以分解徹底的，需要我們全方位，多角度去觀察、思考、嘗試，找到正确的思路，然後使用相對應的分解方法，再經過反複檢查，才能确認結果是否正确，在平時的練習中，我們還應該把結果乘回去以驗證是否能還原，這樣也能增加我們的熟練度，考試時就能得心應手了。

來看一個比較複雜的十字相乘法例題：

例5：

例5隻是提供一個解題思路，單純就此題而言，是不必這麼“腦殘”的，直接化簡重組，然後隻提一個公因式就結束了，過程要簡化得多，有興趣的同學可以自己去試一試。此處主要是想提醒一下，要随時注意整體思想、化繁為簡等思想方法的運用。

好了，下課！

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