本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

好玩的數學

作者 : 童朝敏

作品編号：028

數學家陳省身說：“自己一生，隻會做一件事，就是數學。天下美妙的事不多，數學就是這樣美妙的事之一。”2002年，陳省身先生在世界數學家大會上為少年兒童題詞“數學好玩”。

旨在推動和号召更多的人參與數學文化閱讀和寫作，挖掘和整理數學中“美妙”的事，促進數學文化在數學教育教學中的作用，公衆号“好玩的數學”，連續四屆舉辦了《數學文化征文》活動，是一件很“美好”的事。我整理了近期學習過的一些“數學文化”知識與大家分享。

一、“無中生有”的超然

問題1 給出4個0，用運算符号（含括号），寫出一個24點的式子。

“24點”，是在一副撲克牌1～10，40張中任意抽取4張，或給定4個數字，用加、減、乘、除、括号，每個數字用僅用一次運算，結果為24的益腦增智數字遊戲。高級玩法包括用乘方、開方、階乘等運算。

這個問題，是在剛過去的7月底合肥數學種子教師提高培訓班上，南京市教科院劉權華老師提出的。我觀察到近80位參訓教師，無一人在1分鐘内寫出式子，大家陷入困境。後來，劉老師給出了式子（0！＋0！＋0！＋0！）！大家都仿佛“絕路逢生”，頓感“無中生有”的震撼。受此啟發接着也有人會寫出賦予“無中生有”的其它式子，如用到cos0＝1等，甚至有人腦洞大開，給出一個超然的式子00：00，它是24時制的時間表示。當然這是抓住“24點”字面含義的另一種文字遊戲而已，但也覺得好玩，有趣。

大家沒有想出來的原因，可能是受到前面例題解法的負遷移，沒有想到用“階乘”去“無中生有”。說明了解題思路要開闊，有創新意識，嘗試另辟蹊徑，往往會“柳暗花明”，甚至獲得令人拍案叫絕的解法。

二、“情理之中”的惑然

問題2 将曲線f（x）＝1/x（x≥1）繞x軸旋轉一周，得到如圖所示的旋轉體。你能去塗滿它的表面嗎？能用它裝滿油漆嗎？

通過微積分的知識，我們可求出其體積為

表面積為

三、“蝴蝶效應”的所以然

問題3計算tan1.5≈14.10，tan1.57≈1255.77，tan1.5707≈10381.33，你能得出一個什麼感悟？

混沌理論中有一個著名的現象，叫蝴蝶效應。通俗說：一隻蝴蝶拍動一下翅膀，有可能是萬裡之外一場飓風的起源。發現小誤差引出大變化。正如《易》有雲：“君子慎始，差若毫厘，謬以千裡。”

用學術語言說，蝴蝶效應的原因是許多非線性體系的演化對初始條件的極端敏感性。所以有時細小的差别，不能一概忽略不計，往往就是那個看似無差别的微小的量變引起了質的飛躍。

四、“别具神韻”的妙然

問題4 核心素養提出“用數學的眼光觀察世界，用數學的語言表達世界，用數學的思維思考世界”，文學是表達世界的語言，數學也是表達數學的語言，兩種語言有無共同之處？

很多詩詞中涉及到時空觀，如果用數學中抽象思維去解釋詩詞中的形象思維，可能更好地去理解詩詞的意境，同時詩詞中意境也有助數學抽象概念的理解。

“前不見古人，後不見來者。念天地之悠悠，獨怆然而涕下。”（初唐.陳子昂）

張奠宙教授指出，從數學上看，這是一首闡述時間和空間感知的佳句。前兩句可以看成是一維空間，負無窮大到正無窮大。後兩句描寫三維的現實空間：天是平面，地是平面，悠悠地擴張成三維的立體幾何空間。全詩将時間與空間放在一起考慮，感到自然之偉大，産生了敬畏之心，以至怆然而涕下。

“孤帆遠影碧空盡，惟見長江天際流。”（唐.李白）

徐利治教授指出，“帆影”是一個随時間而趨于零的變量。詩人目送遠帆，直到它消失在水天相接的地方，即當孤帆越走越遠時，帆影會到“碧空盡”處，這正好描述了一個極限的過程。

“滿園春色美不住，一枝紅杏出牆來。”（南宋.葉紹翁）

無界變量是一個抽象難理解的概念，是指對一個正數M，總存在一個變量的絕對值大于M。楊光強副教授解釋，可以将正數M比喻成無論怎樣大的園子，變量相當于紅杏，結果是總有一枝紅杏越過園子的範圍。當然，這是用詩的意境去解釋抽象的數學概念，是隻可意會，不好言傳的。

從數學的角度去理解古典詩詞，以及通過古典詩詞加深對數學的理解，對于深入開展大學、中學的素質教育，開闊學生的視野，提高人文素養與創新素質，是有着重要意義的。

借用王國維先生在《人間詞話》中的“三境界”說，學習數學也有“四境界”，即要經曆學習受困的“惑然”、鑽研後會解的“所以然”、駕輕就熟并靈活運用的“妙然”，到融會貫通後，殊途同歸的“超然”四個階段，曆經了“四境界”，會當淩絕頂，“一覽衆山小”，這時，你會覺得數學真好玩！

參考文獻

[1]張景中、彭翕成《數學哲學》[M]北京師範大學出版社 2010.10

[2]張奠宙、馬岷興等《數學學科德育》[M]高等教育出版社2007.5

[3]鄭隆炘 《數學方法論與數學文化專題探析》[M]華中科技大學出版社2013.11

[4]陳權華 《今天我們如何做老師》（PPT）2022.7

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