昵稱為“latte-半絲微涼”的讀者朋友是位學文科的學霸,她(他)留言問到的題目,就是第二頁的“每日一題第54道”.
我倡導,提問之前要自己摸索、掙紮、用心,然後再提問才有效率、才能漲水平.
她(他)也是這樣做的.
左老師您好,
第二問我嘗試用橢圓切線方程和直徑圓方程的方法來求解,但是進行不下去,想請教您.
因為橢圓是對稱的,有一條切線m,就必然有一條對應的切線n,且直線n和m關于x軸對稱(如上圖).
設以MN為直徑的圓的圓心為O1,半徑為r.
因為M,N的橫坐标分别為a和-a,所以圓心O1在y軸上,不妨設O1(0,b).
故圓O1的方程是:
設以M'N'為直徑的圓的圓心為O2,由對稱性知圓O2的方程為:
把兩個圓的方程相減,得到兩圓的交線方程是:
y=0,即x軸.
也就是說,如果兩個圓有公共點的話,公共點必然在x軸上.
換句話講,在這麼多變化的圓中,如果過某個定點的話,隻可能在x軸上.
這就回答了答案裡的“不難發現”.
真的不難發現嗎?我都寫了好幾百字了,好伐.
但對于熟悉這樣情況的高手來說,的确就是“顯然”,的确就是“容易看出”.
想檢驗自己是否真的熟悉這種“顯然”的朋友,可以試試2012年高考福建理科數學卷第19題.
另外,為什麼你解不下去?
你巧妙地運用了橢圓的切線方程,但卻同時引入了切點的兩個坐标,這兩個未知量和所求量無關、且難于消去.
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