每個可表示為 4n 1 形式的素數，隻能用一種兩數平方和的形式來表達。

十七世紀偉大的法國數學家費馬（1601 – 1665 年）大約于 1660 年發現了這一著名的定

理。然而直到 1670 年才得以發表，在費馬的兒子編輯的丢番圖（Diophantus）著作中以附注的形式出現，不幸的是沒有證明。不能肯定費馬是否已經得出證明。

大約一百年後，才由歐拉第一次發表了這一定理的證明，這是他尋求解決但勞而無功的若幹年後，才寫出了論文“費馬定理的證明，形為 4n 1 素數可以表示為兩數平方之和”

現在費馬—歐拉定理已經有了好幾種證法。下面的證明具有最簡化的特色。

對于不熟悉數論的讀者，我們将提供一些說明，這對于理解這一證明是必要的，并且對于第 22 題所讨論的問題也是有用的。同時必須記住此處和地方 22 題中所用字母均表示整數。

兩個數 a 和 b [參照高斯（Gauss）著作]，當其差能被 m 所以整除時，就叫做對于模數 m 是同餘的，寫作：a ≡ b mod m，讀作對模 m，a 與 b 同餘。例如每個數對于模數（模）m 同餘于被 m 除時所得的餘數，如 65 ≡ 2 mod 7。餘數一詞有更廣泛的意義，意味着對于任意選擇的商做除法後所得的餘數。例如，如果寫成這樣 65 /7=12 ，所留的餘數為–19。

在許多可能的餘數之中有兩個餘數特别重要：一為約定餘數或稱普通餘數，它是正數而已

小于除數；一為最小餘數，其絕對值不大于除數的一半。例如 89/13 除得的最小餘數為–2。因89/13=7-2/13,這也可以寫作 89 ≡ –2 mod 13。

對于同一模數同餘，可應用下述不證自明的規則：

1、如兩數同餘于第三數，則此兩數也彼此同餘。

2、兩個同餘式可以相加，相減和相乘。

由

A ≡ B mod m，a ≡ b mod m

得到

A ± a ≡ B ± b mod m

及

Aa ≡ Bb mod m。

（例如由 A = B Gm 和 a = b gm 可以得到 Aa = Bb pm（p 為整數），亦即 Aa ≡ Bb modm。）

3、 同餘式a ≡ b mod m可乘以任意整數 g：

ag ≡ bg mod m。

隻有當 g 為 a 與 b 的公約數而且 g 與模數 m 沒有公約數時同餘式才可以被 g 除。例如用 7

去除 49 ≡ 14 mod 5，我們得到一個正确的同餘式 7 ≡ 2 mod 5。

如有 m 個正整數的數系中無兩個數同餘于模數 m，則該數系就稱作一個模數 m 的完全剩餘系。最簡單的完全剩餘系是 m 個普通餘數 0，1，2，…，m – 1 的系，其次最簡單的為m 的最小餘數的系。

對于模數 m，每個 z 與完全剩餘系 mod m 中的一個數且僅當一個數同餘。

下述定理特别重要：

定理：如果用一個與模數沒有公約數的數去乘完全剩餘系的各數，則得到對于這一模數的又一個完全剩餘系。

證：令模數為 m，a 是與 m 沒有公約數的乘數。那麼如果對于給定的剩餘系由兩個不相等的數 x 和 x′，

ax ≡ ax′ mod m

成立，則根據同餘規則 3 必有 x ≡ x′ mod m，而這是不可能的。從這一定理可以直接得出：

a 與 m 沒有公約數時同餘式

ax ≡ b mod m

在每個完全剩餘系modm中，具有一個而且僅有一個“根”x。

二次剩餘

有兩個無公約數的數，如其中一個數以相關的另一個數為模同餘于某個平方數，則此數叫做另一數的二次剩餘。如果不存在這樣的平方數，則稱為二次非剩餘。例如 12 是 13 的二

次剩餘，因為 12 ≡ 8^2 mod 13；–1 是 3 的二次非剩餘，由于不存在一個平方數x^2，x^2 ≡ –1 mod 3。

以下為應用于奇素數模 p 的有關二次剩餘定理：

1．如所給定兩個數的平方彼此同餘，例如

與 y 從 1，2，3，…，p – 1 的 Σ 系中選擇以滿足（0）式。對于 Σ 系中的每一個 x，隻有唯一的共轭數 y，（由 xy ≡ D mod p 以及 xy′ ≡ D mod p 得到

xy ≡ xy′ mod p，

并由此而得到或y ≡ y′ mod p

y – y′ ≡ 0 mod p。

然而由于y和y′ 均小于或等于p – 1，所以僅當y = y′ 時二者的差才能被p整除。） 從Σ中任意選擇x1，根據

x1y1 ≡ D mod p

來确定y1，進而我們從Σ中選取不等于x1和y1的一個數x2，且由

x2y2 ≡ D mod p

來确定y2，那麼y2也不等于x1或y1。

用這種方法連續運算，直至所得的同餘式中列出 Σ 中所有的數。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!