最近給一個四年級小朋友讨論等差數列的問題，關于這個話題，我之前也講過幾次，下面是我之前寫的關于等差數列的問題。

胡說數學：小學生應該學等差數列嗎？怎麼學？

胡說數學：孩子們問的數學問題，等差數列能不能不要那麼嚴肅？

之前這兩篇内容，除了有自己的想法，更多是和孩子一起碰撞的結果的總結與反思。

很多問題，作為老師，教學多了，又善于站在孩子角度思考問題，願意傾聽孩子的想法，适合孩子的方法自然有了。

今年，給孩子們碰撞過程之中，越來越覺得等差數列的這幾個标準公式，無論你再怎麼形象生動給孩子們講，甚至有老師讓孩子牢牢記住公式，暫時性的做題應付一下。

但是很快忘記，有多快？有可能一兩天就忘了，這也屬于正常現象。

不符合孩子認知規律的東西，我們要付出很多的精力才可能得到，當然，有些的确需要付出很多，但是對于等差數列這個東西，我們能不能換個思路，不一定完全按照大家都一樣的标準方式去讓孩子理解等差數列。

不要太快，也不要太慢；不要太形象，也不要太抽象；既要考慮實戰，也要考慮孩子的理解。

最近給孩子們讨論，發現孩子們比較容易理解與接受的一個設計，其中孩子們功勞也是很大的。

我們先理解：

等差數列中的某一項是多少的問題？

然後再理解等差數列個數的問題？

最後再理解等差數列求和的問題？

今天，我們每個問題隻讨論一個方法，其他的不作讨論！

​一，等差數列求個數（項數）

最特殊的等差數列：

1，2，3，4，……，99，100

這個不用說，有100個數，也是孩子們最擅長的，一年級小朋友就知道。

2，4，6，8，……，98，100有幾個數？

50個數，因為相當于1，2，3，4，……，99，100中的雙數（偶數），一半，100÷2=50個。

那3，6，9，12，……，96，99有幾個數？

33個，可以理解為1，2，3，……98，99中每三個數有一個，也就是99÷3=33。

4，8，12，16，……，96，有幾個數？

24個，可以理解為1，2，3，4，……95，96中每4個數有一個，也就是96÷4=24個。

以此類推，大家應該明白，這種特殊的等差數列，孩子們理解起來不費勁，而且是孩子們骨子裡本來就有的。

這種具有倍數關系的等差數列，也可以理解為：

2，4，6，8，……，98，100

公差為2，2倍關系，每一個數都除以2，就轉化為：

1，2，3，4，……49，50

根據一一對應思想，我們知道下面這個數列有50個數，上面那個也是50個數。

3，6，9，12，……，96，99

公差為3，3倍關系，每一個數都除以3，就轉化為：

1，2，3，4，……，32，33

根據一一對應思想，我們知道下面這個數列有33個，上面那個也有33個。

以此類推，所有的這種有倍數關系的等差數列，都很容易轉化為以1開頭的自然數列：1，2，3，4，……的問題。

但是如果不是倍數關系，而且其他的等差數列呢？

3，5，7，9，……，99，101有幾個數？

公差為2，能不能轉化為以2開頭的倍數關系的等差數列呢？

顯然，把數列中的每一個數減去1，也就是：

2，4，6，8，……98，100

這個我們知道，100÷2=50個數，根據一一對應思想，下面這個數列有50個數，上面那個也是50個數。

也就是說，3，5，7，9，……，99，101這個等差數列中的每一個數都是2的倍數多1。

1，4，7，10，……，97，100有幾個數？

公差為3，我們就轉化為以3開頭的3倍關系的等差數列，都加2。

3，6，9，12，……，99，102

有102÷3=34個數，根據一一對應思想，上面那個數列也有34個數。

1，4，7，10，……這個數列中的每一個數都滿足3的倍數減2。

孩子們，明白了嗎？每一個等差數列，都可以轉化為以某一個數為開頭的有倍數關系的等差數列，根據一一對應思想，我們就輕松知道等差數列項數的問題。

​

二，等差數列求某一項：

我們都知道：

3，6，9，12，……

以3開頭的3倍關系的等差數列，很容易知道第幾個數是多少？

第10個數就是3×10=30。

第100個數就是3×100=300。

第n個數就是3n

為什麼？其實不用解釋，低年級小朋友也能理解，不過還是解釋一下。

3，6，9，12，……

第一個數是3的1倍，3×1。

第二個數是3的2倍，3×2。

第三個數是3的3倍，3×3

那麼，以此類推……

第100個數就是3的100倍，3×100

第幾個數就是3的幾倍。

接下來就簡單了，因為我說過，所有的等差數列都能變成有倍數數列的等差數列。

比如6，9，12，15，……

這個數列公差為3，變成以3為開頭的3倍關系的等差數列。

每個數都減3，也就是：

3，6，9，12，……

根據一一對應思想，如果想知道上面那個數列第100個數是多少，隻需要知道下面那個數列第100個數，然後再加3即可。

比如，下面這個第100個數是3×100=300，上面那個第100個數就是300 3=303。

3，6，9，12，……每一個數都是3的倍數。

那麼

6，9，12，15，……每一個數都是3倍多3。

然後

1，4，7，10，……每一個數都是3倍少2。

怎麼理解？

隻要是公差為3的等差數列，都能轉化為以3為開頭的3倍數列，也就是：

3，6，9，12，……

比

1，4，7，10，……

每一個數都多2，上面數列每一個數都是3的倍數，下面自然數3的倍數減2。

第30個數是：3×30-2=88

第n個數是：3×n-2

再舉個例子：

2，6，10，14，……

公差為4，轉化為以4為開頭的4倍關系，都加2。

4，8，12，16，……每一個數都是4的倍數。

2，6，10，14，……每一個數都滿足4的倍數少2。

第50個數是4×50-2=198。

第n個數是4×n-2。

好了，無論是求項數，還是求某一項，都能把數列理解為倍數關系，這樣理解起來應該比背誦公式要更能培養孩子數學思維，化繁為簡，一一對應等。

​

三，等差數列求和：

這個話題，很多方法，配對求和法，倒序相加法，整數裂項等。

我今天隻講一個，之前也說過，但是沒有作為重點，一個學生說這個方法很好理解，也很神奇，沒有太多記憶負擔。

大家都知道平均數？

根據平均數，也經常去解決總數的問題，總量=平均數×個數。

等差數列能不能用“總數=平均數×個數”，這個大家都知道的數量關系計算呢？

3 5 7 9 11 13 15 17 19

他們的平均數是多少？

先數數有幾個數？

9個。

有小朋友知道，平均數就是把這幾個數想加，然後除以9。

但是，等差數列不需要這樣，隻需要找到中間數就行。

中間數11就是平均數，為什麼？

3 19=22兩個數的平均數是11。

5 17=22兩個數的平均數是11。

7 15=22兩個數的平均數是11。

9 13=22兩個數的平均數是11。

這些數合在一起平均數自然也是11，隻不過讓中間數當代表了。

這串數的和，根據平均數×個數可以知道：

11×9=99。

有人可能說你剛才舉的例子是單數個（奇數個）的例子，等差數列也有雙數（偶數個）的情況。

3 5 7 9 11 13 15 17

這個有8個數，平均數是多少？

沒有中間數，有中間兩個數9和11。

9 11=20兩數平均數是10。

7 13=20兩數平均數是10。

5 15=20兩數平均數是10。

3 17=20兩數平均數是10。

合在一起，平均數10。

根據總和=平均數×個數，可以知道：

和=10×8=80。

如果碰到比較複雜的，我們往往是找不到中間數，或者中間兩數的，怎麼辦？

其實大家剛才已經發現，想要知道一串等差數列的平均數，中間數也不需要找，隻需要找“（第一個數 最後一個數）÷2”，就是它的平均數，也就是（首項 末項）÷2作為一串等差數列的平均數。

根據“和=平均數×個數”，可以知道“等差數列的和=（首項 末項）÷2×項數”

比如，1 2 3 4 5 …… 99=（1 99）÷2×100即可。

2 4 6 8 …… 98 100=（2 100）÷2×50即可。

先想到平均數×個數，再想到平均數怎麼找比較簡單直接，然後利用平均數的數量關系求和，思路清晰，簡單易懂。

當然了，課内還給了一個配對求和的方法也比較簡單，也可以作為思維更一般的小朋友都方法，大緻說說。

1 2 3 4 5 …… 99 100

還是先數數多少個數？

100個，剛好100÷2=50對。

1 100，2 99，3 98，……每一對都是101。

和是：101×50=5050

剛才有偶數個數，我們也需要研究奇數個數的等差數列怎麼辦？

2 3 4 5 …… 99 100

有99個數，有一個數落單了，配對失敗！

怎麼辦？

涼拌炒雞蛋，去掉1個數，最好是第一個或者最後一個數，不就行咯，大不了最後再加回來。

那就去掉100吧。

2 3 4 5 …… 98 99

98個數，98÷2=49對。

每一對和是101。

和是：49×101=4949

然後再把剛才100撿回來，4949 100=5049

我喜歡這個方法，貼近課本，操作也快！

所有等差數列也可以這樣做了，是不是很香？是不是挺好理解，關鍵是不太容易忘記，忘記了也能自己推一推。

思維一般的孩子用配對求和，孩子不會有太大心理負擔，稍微好一點的可以試着平均數的方法，當然你要是說我記憶力牛，那你就直接背公式，我是不攔你，每一個孩子學習方式，認知水平都不一樣，我不會說哪個好，哪個不好，适合的才是最好的。

今天換了一個思路給大家說說等差數列，也是我最近會給四年級孩子們傳達的。小學生還是不要把重心過多放在孩子理解起來困難的地方，你可以講，如果孩子真的不理解我們也不能怪孩子，就當做孩子經曆過就好，不妨換種思路讓孩子接受，真沒招，也可以暫時擱淺。

有時候等差數列不一定非得按照大家都遵守的方式去理解，有時候貌似慢一點，笨一點的方法對孩子的學習反而更容易提升，因為學習有階梯，我們先讓孩子上去，不管什麼方式。

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