上一期證明了實數是連續的，這是有理數所沒有的性質，這一期來證明實數集不可列，也就是不能排成一列，實數集不可列其實與實數系連續性定理是有關聯的。可列的無窮集合我們叫做可數集合，不可列的叫做不可數集合。其實對無窮這個概念，人很難直觀去感知，如果集合是有限的，我們能夠比較它們元素個數的多少，但都是無窮，無窮之間有等級嗎？答案是有等級，由于是無限的，無法用具體的數子表示元素個數，所以就定義了“勢”或“基數”這個概念。如果兩個無窮集合等勢，就表明它們元素個數相等，也可以說有相同的基數。涉及到無限，這裡就會有一些違背人直覺的結論，例如，整數集元素個數和有理數集元素個數相同，即整數集和有理數集的基數相等，都是可數集，可數集的基數記作a。要證明有理數集可數隻要能将全體有理數排成一列就可以了，接下來我們證明實數不可數，這其實意味着實數要比有理數多得多。如果将全體實數比作整個夜空，那麼有理數隻是夜空中的星星。
前面說了實數集不可列與實數系連續性定理是關聯，所以下面用兩種方法證明實數集不可列。
現證明[0，1]上的所有實數不可列
方法一：
反證法。假若實數集可列，則将（0.1）上的所有實數排成一列：
現在找一個（0.1）上不在這一列中的實數，
顯然y與列表中任何實數都不相同，可是（0.1）上的所有實數都排在這個列表中，于是矛盾。
方法二：方法二利用了實數系基本定理之中的閉區間套定理。
反證法。假若實數集可列，則将（0.1）上的所有實數排成一列：
有些同學可能會想，實數比有理數多很多，那它們數量之間有沒有一個關系。由于有理數集和實數集都是無窮集合，無法用數字來表示數量的多少，但可以将它們的基數做一個比較，在我的短視頻中，證明了實數集與可數集的幂集等勢，如果a是可數基數，c為實數集基數，則c等于2的a次方。
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