（1）理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義；結合具體函數，了解函數奇偶性的含義.

（2）會運用函數圖象理解和研究函數的性質.

一、函數的單調性

1．函數單調性的定義

2．單調區間的定義

若函數y=f(x)在區間D上是增函數或減函數，則稱函數y=f(x)在這一區間上具有（嚴格的）單調性，區間D叫做函數f(x)的單調區間．

注意：

（1）單調性是與“區間”緊密相關的概念，一個函數在不同的區間上，可以有不同的單調性，同一種單調區間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．

（2）函數的單調性隻能在函數的定義域内來讨論，所以求函數的單調區間，必須先求函數的定義域．

3．函數單調性的常用結論

（1）若f(x),g(x)均為區間A上的增(減)函數，則f(x) g(x)也是區間A上的增(減)函數；

（2）若k>0，則kf(x)與f(x)的單調性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)的單調性相反；

（5）奇函數在其關于原點對稱的區間上單調性相同，偶函數在其關于原點對稱的區間上單調性相反；

（6）一些重要函數的單調性：

4．函數的最值

注意：

（1）函數的值域一定存在，而函數的最值不一定存在；

（2）若函數的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數的值域是開區間，則函數無最值，若函數的值域是閉區間，則閉區間的端點值就是函數的最值.

二、函數的奇偶性

1．函數奇偶性的定義及圖象特點

注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域内的任意一個x，-x也在定義域内（即定義域關于原點對稱）．

2．函數奇偶性的幾個重要結論

（1）奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性相反．

（2）f(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結論：

（3）若奇函數的定義域包括0，則f(0)=0．

（4）若函數f(x)是偶函數，則f(-x)=f(x)=f(|x|)．

（5）定義在(-∞， ∞)上的任意函數f(x)都可以唯一表示成一個奇函數與一個偶函數之和．

（6）若函數y=f(x)的定義域關于原點對稱，則f(x) f(-x)為偶函數，f(x)-f(-x)為奇函數，f(x)f(-x)為偶函數．

（7）掌握一些重要類型的奇偶函數：

三、函數的周期性

1．周期函數

對于函數y=f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域内的任何值時，都有f(x T)=f(x)，那麼就稱函數y=f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．

2．最小正周期

如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那麼這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期（若不特别說明，T一般都是指最小正周期）.

注意：并不是所有周期函數都有最小正周期.

3．函數周期性的常用結論

設函數y=f(x)，x∈R，a>0.

①若f(x a)=f(x-a)，則函數的周期為2a；

②若f(x a)=-f(x)，則函數的周期為2a；

⑤函數f(x)關于直線x=a與x=b對稱，那麼函數f(x)的周期為2|b-a| ；

⑥若函數f(x)關于點(a,0)對稱，又關于點(b,0)對稱，則函數f(x)的周期是2|b-a|；

⑦若函數f(x)關于直線x=a對稱，又關于點(b,0)對稱，則函數f(x)的周期是4|b-a|；

⑧若函數f(x)是偶函數，其圖象關于直線x=a對稱，則其周期為2a；

⑨若函數f(x)是奇函數，其圖象關于直線x=a對稱，則其周期為4a.

考向分析

考向一 判斷函數的單調性

1．判斷函數單調性的方法：

（2）利用複合函數關系，若兩個簡單函數的單調性相同，則這兩個函數的複合函數為增函數；若兩個簡單函數的單調性相反，則這兩個函數的複合函數為減函數，簡稱“同增異減”．

（3）圖象法：從左往右看，圖象逐漸上升，則單調遞增；圖象逐漸下降，則單調遞減．

（4）導數法：利用導函數的正負判斷函數的單調性．

（5）利用已知函數的單調性，即轉化為已知函數的和、差或複合函數，判斷函數的單調性.

2．在利用函數的單調性寫出函數的單調區間時，首先應注意函數的單調區間應是函數定義域的子集或真子集，求函數的單調區間必須先确定函數的定義域；其次需掌握一次函數、二次函數等基本初等函數的單調區間．

考向二 函數單調性的應用

函數單調性的應用主要有：

（2）利用函數的單調性，求函數的最大值和最小值．

（3）利用函數的單調性，求參數的取值範圍，此時應将參數視為已知數，依據函數的單調性，确定函數的單調區間，再與已知單調區間比較，即可求出參數的取值範圍．若函數為分段函數，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值．

（4）利用函數的單調性解不等式．首先根據函數的性質把不等式轉化為f(g(x))>f(h(x))的形式，然後根據函數的單調性去掉“f”号，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意g(x)與h(x)的取值應在外層函數的定義域内．

考向三 函數最值的求解

1．利用單調性求最值．應先确定函數的單調性，然後再由單調性求出最值．若函數在閉區間[a,b]上是增函數，則f(x)在[a,b]上的最小值為f(a)，最大值為f(b)；若函數在閉區間[a,b]上是減函數，則f(x)在[a,b]上的最小值為f(b)，最大值為f(a).

2．求函數的最值實質上是求函數的值域，因此求函數值域的方法也用來求函數最值.

3．由于分段函數在定義域不同的子區間上對應不同的解析式，因此應先求出分段函數在每一個子區間上的最值，然後取各區間上最大值中的最大者作為分段函數的最大值，各區間上最小值中的最小者作為分段函數的最小值.

4．求函數最值的方法還有數形結合法和導數法.

【名師點睛】求二次函數的最大（小）值有兩種類型：一是函數定義域為實數集R，這時隻要根據抛物線的開口方向，應用配方法即可求出最大（小）值；二是函數定義域為某一區間，這時二次函數的最大（小）值由它的單調性确定，而它的單調性又由抛物線的開口方向和對稱軸的位置（在區間上，在區間左側，還是在區間右側）來決定，若含有參數，則要根據對稱軸與x軸的交點與區間的位置關系對參數進行分類讨論，解題時要注意數形結合.

考向四 判斷函數的奇偶性

判斷函數奇偶性的常用方法及思路：

（1）定義法：

（2）圖象法：

（3）性質法：利用奇函數和偶函數的和、差、積、商的奇偶性和複合函數的奇偶性來判斷.

注意：

①分段函數奇偶性的判斷，要注意定義域内x取值的任意性，應分段讨論，讨論時可依據x的範圍相應地化簡解析式，判斷f(x)與f(-x)的關系，得出結論，也可以利用圖象作判斷．

②性質法中的結論是在兩個函數的公共定義域内才成立的．

③性質法在選擇題和填空題中可直接運用，但在解答題中應給出性質推導的過程.

考向五 函數奇偶性的應用

1．與函數奇偶性有關的問題及解決方法：

（1）已知函數的奇偶性，求函數的值．

将待求值利用奇偶性轉化為已知區間上的函數值求解．

（2）已知函數的奇偶性求解析式.

已知函數奇偶性及其在某區間上的解析式,求該函數在整個定義域上的解析式的方法是：首先設出未知區間上的自變量，利用奇、偶函數的定義域關于原點對稱的特點，把它轉化到已知的區間上，代入已知的解析式，然後再次利用函數的奇偶性求解即可.

（3）已知帶有參數的函數的表達式及奇偶性求參數.

在定義域關于原點對稱的前提下，利用f(x)為奇函數 ⇔ f(x)=f(-x)，f(x)為偶函數⇔ f(-x)=f(x)，列式求解，也可以利用特殊值法求解.對于在x=0處有定義的奇函數f(x)，可考慮列式f(0)=0求解.

（4）已知函數的奇偶性畫圖象判斷單調性或求解不等式.

利用函數的奇偶性可畫出函數在另一對稱區間上的圖象及判斷另一區間上函數的單調性.

2．對稱性的三個常用結論：

（1）若函數y=f(x a)是偶函數，即f(a-x)=f(a x)，則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱；

（2）若對于R上的任意x都有f(2a-x）=f(x)或f(-x)=f(2a x)，則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱；

（3）若函數y=f(x b)是奇函數，即f(-x b) f(x b)=0，則函數y=f(x)關于點(b,0)中心對稱．

考向六 函數周期性的判斷及應用

（1）判斷函數的周期，隻需證明f(x T)=f(x)，便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題．

（2）根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，即周期性與奇偶性都具有将未知區間上的問題轉化到已知區間的功能．在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期.

（3）利用函數的周期性，可将其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化為已知區間上的相應問題，進而求解.

考向七 函數性質的綜合應用

函數的三個性質：單調性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命題，而是常将它們綜合在一起考查，其中單調性與奇偶性結合、周期性與抽象函數相結合，并結合奇偶性求函數值，多以選擇題、填空題的形式呈現，且主要有以下幾種命題角度：

（1）函數的單調性與奇偶性相結合，注意函數的單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性．

（2）周期性與奇偶性相結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，将所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域内求解．

（3）周期性、奇偶性與單調性相結合，解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然後利用奇偶性和單調性求解.

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