文化交流、文獻考證及地理問題給“數學概念”的曆史考證帶來了很多變數，大家一度以為的世界領先往往隻存在一段時間，而一旦有了新的發現，這種記錄随時都有被打破的可能。

“楊輝三角”是數學家們為了求解高次方程而引入的一個幾何排列。在我國，它的發現歸功于11世紀的北宋數學家賈憲，這比西方的“帕斯卡三角”（1654）早600年，在世界也一度領先。大家肯定會疑惑，明明是賈憲的發現，為什麼它不叫“賈憲三角”呢？

楊輝三角

曆史上這種“張冠李戴”的事情還是很多的，比如，求解三次方程“卡丹公式”由塔爾塔利亞給出，關于極限求值的“洛必達法則”應歸功于約翰·伯努利，阿拉伯數字是印度人發明的，“托勒密定理”屬于“三角形之父”喜帕恰斯.....

印度人發明的“阿拉伯數字”

這些數學概念的“命名”，并非因為誰最先發現，而是依據誰最先發表。

“楊輝三角”就是因為它最先出現在我國南宋時期著名數學家楊輝的《詳解九章算法》（1262）一書中。盡管楊輝在書中聲明這一發現應歸功于北宋數學家賈憲（約1050年），但人們依舊将錯就錯，“楊輝三角”一叫就叫了千年，“賈憲三角”是20世紀以來才有的叫法。

楊輝的《詳解九章算法》

楊輝在“楊輝三角”旁這樣注釋到。

翻譯成通俗的語言是這樣的：“楊輝三角”最外邊左、右斜線上的數字，都分别是各次開方的積數（a^n）和隅算（b^n）的系數，中間所藏的“二”、“三、三”等分别是開平方、立方的廉。

“楊輝三角”雖然隻給出了7列，但是明顯他已經發現了這個表的構造性質——每一項等于其“肩上”兩項的和，如第5列的第三個數6，等于其肩上兩數之和3 3（第4列的第二、三個數）。據此性質可以得到它的下一列（第8列）為：1,7,21,35,35,21,7,1.以及第9列：1,8,28,56,70,56,28,1.以下各列依據此規律，在已知第n列的情況下，可輕松得到第n 1列。

如此優美的三角形是如何得到的呢？它的每一個數又代表什麼意義？我們又得回到數學家賈憲這裡，約1050年，他發現了求高次方程數值解的方法——“立成釋鎖開方術”，該方法的核心步驟是代換，如求方程x^4=37的近似值，需要令x=y 2然後展開.

這裡要求（y 2）^4的展開式，在符号沒有普及的宋元時期是一個很難的工作，即使今天我們如果按多項式的乘積展開對學生來說也是不容易的。有沒有簡單一些的做法呢？答案是有，使用“楊輝三角”即可。為了方便叙述，我們以（a b）^4為例。

首先，（a b）^4展開式化簡後有5項，其系數分别為：1,4,6,4,1（“楊輝三角”第五列）.

其次，從第一項開始，每一項都是x的m次幂與y的n次幂的乘積，m n=4，且y的次幂m從4次降到0次，2的次幂n從0次升到4次. 即

使用“楊輝三角”，我們可以輕松得到二項式(a b)ⁿ的展開式，這是一項偉大的工作，這不僅因為它為求解高次方程掃清了障礙，還因為它把二項式系數圖形化，把組合數内在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來。

那麼問題來了，楊輝（或賈憲）得到這個表的方法是純粹的歸納還是有嚴謹的推理證明呢？我更傾向于前者，因為在我國宋元時期，并沒有讨論到“組合學”的相關内容。而“楊輝三角”從現在的角度理解，其本質是二項式系數（組合數）在三角形中的一種幾何排列，“組合學”知識是二項式展開式的基礎。下圖構成了“楊輝三角”每一項與二項式、二項式系數的對應關系。

我試着用通俗的數學語言為大家解釋“楊輝三角”是如何計算的，亦即二項式定理的一個簡單證明.二項式定理即

大家很容易發現它的各項系數構成了“楊輝三角”的第n 1列.

二項式定理的證明

（1）.當n=2時，(a b)^²=(a b)(a b)=a^2 2ab b^2，其展開原理見動圖

展開式原理-動圖

由此可知，(a b)(a b）的展開式中的每一項，相當于從第一部分(a b)中選出a或b,與第二部分(a b)中選出a或b來相乘。如，a^2相當于從兩部分中都選了a相乘，而要得到ab有兩種可能——從第一部分選a、第二部分選b相乘，或從第一部分選b、第二部分選a相乘，所以它的系數為C(2,1)=2

（2）同理，當n=3時，(a b)^³=(a b)(a b)(a b)中的a^²b的系數可以這樣得到：在三部分中選二部分讓其拿出a，與剩下一部分拿出b來相乘，共有C(3,2)=3種可能，所以其系數為3，即3a^²b

（3）一般的，(a b)^ⁿ由n個（a b）相乘得到(a b)...(a b)(a b).其展開式的每一項都是由這n個部分中選a或b出來相乘得到。如，a^n由每一部分都選a來相乘得到，隻有一種可能，其系數為1，而

所以，n部分中要讓四部分選b,共有C(n,4)種可能，故其系數為C(n,4)。

雖說這是任意一個高二學生就已知曉的内容，但是關于任意正整數n的二項式定理的第一個證明卻要直到1654年才由法國數學家帕斯卡（ Pascal ）給出，同時帕斯卡也給出了類似的排列，也因此歐洲數學家将“楊輝三角”叫做“帕斯卡三角”。

如下圖，

記表格的第n 1排、第n 1列所在數為t_mn，帕斯卡通過統計證明得到：

但是一直以來，歐洲數學家并不知道中國、印度及阿拉伯在這方面的工作，覺得“帕斯卡三角”的發明權應屬于歐洲，随著全球文明的交彙融合、古代文獻的不斷發掘考證，進入20/21世紀，全球數學家漸漸承認了中國在這一領域的世界領先地位。

但同時，随著印度、阿拉伯文獻的進一步考證，“楊輝三角”的首發權又将移位到印度。盡管隻有隻言片語，但公元前2世紀的印度數學家Pingala的确已經有了“楊輝三角”的雛形，其後的兩位印度數學家Varāhamihira（公元505年）及Halayudha（ 公元975年）給出了更詳細的描述。而Mahāvīra（公元850年）走得更遠，他實際上相當于早于帕斯卡得到了組合數公式，這在目前來看是世界第一的.

針對古印度數學家在這一領域的成就，我們也應該存部分懷疑的态度，因為古印度的數學著作都是以詩歌形式出現的，其翻譯難度不亞于對古文的翻譯，而且古印度數學家的生存年代也往往存疑。各家之言，是否符合史實還需要進一步的證據支撐。

總之，由于種種原因，“楊輝三角”有了多個名稱，其他如“帕斯卡三角”、“楊輝三角”、“海亞姆三角”、“塔爾塔利亞三角”等。同時，“楊輝三角”的發現者仍在不斷的改變——從帕斯卡、楊輝、賈憲，再到印度的Pingala。

類似于“楊輝三角”這樣的數學成果還有很多，它們同時存在于不同的名族、并在不斷的改變、改進，但數學不應該有國界，數學的發展應該是世界人民的共同努力促成的結果，我們以人類擁有這樣的理解力、發展力而感到驕傲.

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