初中數學，課本中每一章的基本内容和所蘊含的數學思想是最基礎最重要的數學知識！。數學學習，要養成善于思考、歸納整理、舉一反三的良好習慣。希望我們能從此筆記中領悟出重要的數學學習方法和技巧，取人之長，補己之短，站在前人的肩膀上，我們才能取得更好的成績！

一、你今年幾歲了？

1、方程（含有未知數的等式叫做方程）

2、在一個方程中，隻含有一個未知數，且未知數的指數都是 1，這樣的方程 叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）． 使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫做方程的解。

3、等式的基本性質：

等式兩邊同時加上（或減去）同一個代數式，所得結果仍是等式。

等式兩邊同時乘同一個數（或除以同一個不為 0 的數），所得結果仍是等式。

數學

二、解方程

1、移項

把方程的一項從一邊移動到另一邊，這種變形叫做移項。

注意：移項的過程要更改符号。

2、解一元一次方程的一般步驟

解一元一次方程，一般要通過①去分母 ②去括号 ③移項 ④合并同類項 ⑤将未知數的系數化為1等步驟，把一個一元一次方程“轉化”成x=a的形式。

移項解一元一次方程時需注意：

1） 移項的依據是等式的基本性質，移項中強調移動的項必須改變符号；

2） 利用移項解一元一次方程習慣上将含有未知數的項移到方程的左邊，不含未知數的項移到方程的右邊。

三、用一元一次方程解決實際問題

用一元一次方程解決實際問題的步驟為：

①找出等量關系式 ②設未知數 ③列方程 ④解方程 ⑤檢驗

可以簡化為五個字：“找、設、列、解、檢”來記憶。

1、水箱變高了

在形積變化問題中，常見問題有以下幾種情況：

(1)形狀發生改變，而體積不變，相等關系：變化前後體積相等；

(2)形狀、面積發生改變，而周長不變，相等關系：變化前後周長相等；

(3)形狀、體積不同，但根據題意能找出體積、面積之間的關系，把這個關系作為相等關系.

2、打折銷售

(1)利潤＝售價－成本價(進價)；

3、追趕小明

1）相遇問題即相向而行，等量關系：雙方所走路程之和＝全部路程；

2）追及問題即同向而行，等量關系：雙方行程的差＝原來的路程(開始時雙方相距的路程).

3）航行問題即行程問題，等量關系：①船在靜水中速度＋水速＝船的順水速度；②船在靜水中速度－水速＝船的逆水速度.

四、《認識基本的平面圖形》常用的數學思想方法

4.1、函數思想（或函數與方程的思想）

例1、函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題的思維策略。

甲、乙兩車從相距360千米的A、B兩地勻速相向而行，甲車從A地出發，乙車從B地出發．

（1）若甲車比乙車先出發1小時，則兩車在乙車出發後經2小時相遇；若乙車比甲車先出發2.5小時，則兩車在甲車出發後經1.5小時相遇．問甲、乙兩車每小時各行駛多少千米？

（2）若甲車先出發，3小時後乙車也出發．甲車到達B地後立即返回（忽略掉頭等時間），結果與乙車同時到達A地．已知甲車速度是乙車速度的1.25倍，問乙車出發後多少時間兩車第一次相遇？

例2、已知某座橋長800米，現有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全通過共用了1分鐘，這列火車完全在橋上的時間為40秒，則火車的速度和車長分别是（　　）

A．20米/秒，200米 B．18米/秒，180米

C．16米/秒，160米 D．15米/秒，150米

解：設火車長為L

利用火車速度相等，可列方程：

（800 - L）÷40 = （800 L）÷60

解方程，可得：L= 160 米，故選C

4.2、數形結合思想

數結合思想：就是通過數和形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法。使抽象思維和形象思維結合起來，通過“以形助數”，和“以數輔形”，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化.

數形結合思想為什麼那麼重要呢？因為很多題目隻要結合圖形，就會變得非常簡單，下面我們來看一道例題：

例3、已知有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，試化簡：|﹣a| |a c|﹣|b﹣2a| |b﹣c|

∵﹣a＞0，a c＜0，b﹣2a＞0，b﹣c＜0，

∴|﹣a| |a c|﹣|b﹣2a| |b﹣c|

＝（﹣a）﹣（a c）﹣（b﹣2a）﹣（b﹣c）

＝﹣a﹣a﹣c﹣b 2a﹣b c

＝﹣2b．

例4、如圖，已知點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且a、b滿足|a 3| （b﹣2）2＝0．

（1）求A、B所表示的數；

（2）點C在數軸上對應的數為x，且x是方程2x 1＝x﹣8的解

①求線段BC的長；

②在數軸上是否存在點P，使PA PB＝BC？求出點P對應的數；若不存在，說明理由．

解：（1）∵|a 3| （b﹣2）2＝0，

∴a 3＝0，b﹣2＝0，

解得，a＝﹣3，b＝2，

即點A表示的數是﹣3，點B表示的數是2；

（2）①2x 1＝x/2﹣8

解得，x＝﹣6，

∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，

即線段BC的長為8；

②存在點P，使PA PB＝BC，

設點P的表示的數為m，

則|m﹣（﹣3）| |m﹣2|＝8，

∴|m 3| |m﹣2|＝8，

當m＞2時，解得，m＝3.5，

當﹣3＜m＜2時，無解，

當x＜﹣3時，m＝﹣4.5，

即點P對應的數是3.5或﹣4.5．

4.3、分類讨論的思想

分類讨論的思想是指把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若幹類，轉化成若幹個小問題來解決，或者有些問題包括多種情況時，要分情況讨論。運用分類讨論思想時要注意：每一次分類要按照同一标準；分類時要做到不重不漏。

例5、已知數軸上的A、B兩點分别對應數字a、b，且a、b滿足|4a﹣b| （a﹣4）2＝0

（1）直接寫出a、b的值；

（2）P從A點出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸正方向運動，當PA＝3PB時，求P運動的時間和P表示的數；

解：（1）∵|4a﹣b| （a﹣4）2＝0

∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0，

解得a＝4，b＝16．

答：a、b的值為4、16．

（2）設P運動的時間為t1秒，P表示的數為x．

根據題意，得

①當P點在A、B之間時，

x﹣4＝3（16﹣x）

解得x＝13．

3t1＝x﹣4＝13﹣4＝9

∴t1＝3．

②當P點在B點右側時，

x﹣4＝3（x﹣6），解得x＝22，

∴3t1＝x﹣4＝18，∴t1＝6

答：P運動的時間為3或6秒，P表示的數為13或22．

例6、超市在元旦期間對顧客優惠，規定如表：

（1）若一次性購物500元，實際付款　 　元；

（2）如果顧客在該超市一次

性購物x（其中x≥200元）實際付款多少元？（用含x的代數式表示）

（3）如果小明兩次購物貨款共560元且第一次購物的貨款為a元（其中a＜200），求兩次購物實際付款共多少元？（用含a的代數式表示）

解：（1）根據題意得：

購物400元的部分實際付款：400×0.9＝360（元），

購物超過400元的部分實際付款：（500﹣400）×0.8＝80（元），

則若一次性購物500元，實際付款：360 80＝440（元），

故答案為：440，

（2）根據題意得：若200≤x＜400，實際付款：0.9x（元），

若x≥400，實際付款：0.8（x﹣400） 400×0.9＝0.8x 40（元），

答：如果顧客在該超市一次性購物x（其中x≥200元），若200≤x＜400，實際付款0.9x元，若x≥400，實際付款0.8x 400元，

（3）根據題意得：

若0＜a≤160，則560﹣a≥400，兩次購物實際付款：0.8（560﹣a） 400 a＝0.2a 488（元），

若160＜a＜200，則200＜560﹣a＜400，兩次購物實際付款：0.9（560﹣a） a＝0.1a 494（元），

答：若0＜a≤160，兩次購物實際付款0.2a 488元，若160＜a＜200，兩次購物實際付款0.1a 494元．

4.4、特殊與一般的思想

由特殊到一般，再由一般到特殊的反複認識的過程是人們認識世界的基本過程之一。數學研究也不例外，這種由特殊到一般，再由一般到特殊研究數學問題的基本認識過程就是特殊與一般的思想。

例7、已知方程（2a 1）x＝3ax﹣2有正整數解，求整數a的值

解：（2a 1）x＝3ax﹣2，

移項，合并同類項得：（﹣a 1）x＝﹣2，

因為方程有解，

所以（﹣a 1）≠0，即x＝2/(a-1)， （先解出方程的一般解）

因為方程有正整數解，且a取整數， （再根據方程有正整數解，即特殊解，求出a的值）

所以a﹣1＝1或a﹣1＝2，

解得：a＝2或a＝3，

答：整數a的值為2或3．

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