線段動點問題（專題一）

解法一：

解法二：

【解析】

連接OC，OM、CM，如圖，利用斜邊上的中線性質得到OM=1/2PQ，CM=1/2PQ，則OM=CM，于是可判斷點M在OC的垂直平分線上，則點M運動的軌迹為△ABC的中位線，然後根據三角形中位線性質求解.

【點評】

本題考查了軌迹:通過計算确定動點在運動過程中不變的量，從而得到運動的軌迹.也考查了等腰直角三角形的性質.

【解析】

(1)根據題意補全圖形，由等邊三角形的性質得出AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋轉的性質得:∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，得出∠ACD=∠BCE，證明△ACD≌△BCE，即可得出結論；

(2)過點A作AF⊥EB交EB延長線于點F.由△ACD≌△BCE，推出∠CBE=∠A=60°，推出點E的運動軌迹是直線BE，根據垂線段最短可知:當點E與F重合時，AE的值最小，此時CD=CE=CF，利用勾股定理求出CF即可.

【點評】

本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、垂線段最短等知識；熟練掌握旋轉的性質，證明三角形全等是解題關鍵.

【解析】

(1)先判斷出∠A=∠ABC，進而判斷出∠ABC=∠ACE，即可得出△AEC~△ACB，即可得出結論；

(2)先判斷出∠PBN ∠OBN=90°，進而得出∠PBN=∠COB，再判斷出∠PEB=∠COB，即可得出結論；

(3)先判定△OCB為等邊三角形，進而判斷出當P、Q、O三點共線時，PQ最小，再判斷出△PBE是等邊三角形，利用勾股定理求出AB=2BN=4√3，BE=PB=8√3/3，即可得出PQ=

(4√21/3)-4.

【點評】

此題圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，切線的性質，利用勾股定理求出AE是解本題的關鍵.

【點評】

本題考查抛物線與X軸的交點、待定系數法、最短問題、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，學會利用輔助圓解決最短問題，屬于中考常考題型.

【點評】

本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理以及最值問題；熟練掌握平行四邊形的性質與特殊直角三角形的性質.

【解析】

如圖，取AB的中點E，連接CE，PE.由△QBC≌△PBE(SAS)，推出QC=PE，推出當EP⊥AC時，QC的值最小.

【點評】

本題考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形30度角的性質等知識，解題的關鍵:是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題.

【解析】

取BC的中點，連接MG，根據等邊三角形的性質和旋轉可以證明△MBG≌△NBH，可得MG=NH，根據垂線段最短，當MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，進而根據30度角所對直角邊等于斜邊的一半即可求得線段HN長度的最小值.

【點評】

本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、垂線段最短的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.

【點評】

本題考查軌迹、等腰直角三角形的性質、圓的有關知識，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正确尋找點M的運動軌迹，屬于中考選擇題中的壓軸題.

【解析】

根據抛物線y=1/9x²-1與x軸交于A，B兩點，可得A、B兩點坐标，D是以點C(0，4)為圓心，根據勾股定理可求BC的長為5，E是線段AD的中點，再根據三角形中位線，BD最小，OE就最小.

【點評】

本題考查了點與圓的位置關系、抛物線與x軸的交點、三角形中位線定理，解決本題的關鍵是點B、D、C共線問題.

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