有兩個謎題讓古代的數學愛好者夜不能寐：1）曲線下的面積；2）曲線上一點的斜率。

在本文中，我們将逐步深入地探讨這兩個問題。然後我們會回到求曲線斜率的微積分方法上來。

• ​古代的兩個問題：曲線下的面積和曲線上一點的斜率。

​讓我們從一個簡單的例子開始。

• 。求三角形的面積和斜邊的斜率。

​在上圖中，曲線是一條直線，我們感興趣的是它下面三角形的面積。

這是直線的斜率：

我們要推廣這個過程。用一個公式就能求出斜率和面積。

我一直在說“曲線”。在這個例子中，曲線就是直線。其公式是：

可以通過代入點(1.5，0)和(3.5，4)來驗證。

方程的階是最高指數的值。這裡，階是1。現在我們回到面積和斜率的計算。看看曲線方程的階是怎樣的。

首先，y=2x-3下任意一個三角形的面積是多少？

• 求面積和斜率的一般情況

開始似乎把三角形的面積完全複雜化了。但是，最後的結果很簡單。這條曲線下的三角形面積是△x的平方。

把階數會從1增加到2。我們用一個x項乘以一個一階表達式。我們會看到這和多項式方程是一緻的。曲線下的面積方程會高一個階。

上面冗長的推導是一種常見的方法。通常我們可以從第一行跳到最後一行，然後跳過中間的内容。在本文中，我們不會對高階多項式推廣這個過程。相反，我們将重點研究不同函數的斜率。

多項式函數的斜率

你們已經知道這條直線y = mx b的斜率是 m，我們将用微積分方法推導它。然後我們将這種方法應用于高階情況。

這樣的一個例子很簡單，但是觀察這個過程和結果。方程的階數從1降到了0。現在我們把這個方法用到曲線上，更高階的多項式。這次，我們從斜率開始。

當點越靠近，切線就越接近曲線的方向。我們來看看關于n次項的斜率。

為了理解分子，我們需要用到二項式定理

根據二項式定理，我們展開了分子的第一項。同時減去分子的第二項。

下一步是把這些都除以分母。這意味着每一項含有△x的指數都将減少1。

最後可以表示任意一項的斜率為：

我們如何處理帶有多項的函數？例如函數4 x³ 3 x² 7x 1的斜率是12 x² 6 x 7。可以觀察到：

• 常數的斜率是零；
• 當x項的系數不是1時，指數乘以系數；

三角函數的斜率

我們來看看sinx的斜率函數。

正弦函數的周期為2π。在波峰和波谷處切線是水平的。在這兩點之間，切線的斜率在 1和-1之間變化。

上圖放大了單位圓的一部分。角度θ的微小增加對應于該角度所包圍的弧長的微小增加。在這種微小的規模上，弧線是一條直線。它形成直角三角形的斜邊。

dθ是指角度θ的無限微小變化。當θ增加，sinθ增加值為：dsinθ。同樣cosθ減小d cosθ。

這兩個三角形相似，得到：

這兩個函數，sin和cos，是相同的，但是不同步。看看它們是如何交織在一起的。一個增加，另一個減少：

一旦知道了正弦和餘弦函數，就可以推導出其他的三角函數。但是你需要知道乘法法則和除法法則。

乘法法則

假設你想把兩個函數相乘:

讓我們取兩個通用函數u和v，并将它們表示為矩形的邊。它們的乘積就是矩形的面積。函數的斜率表示函數增加或減少的速率。我們感興趣的是，随着矩形每條邊的變化，面積如何變化。

面積的增加是由v du u dv du dv給出的。假設u和v是x的函數，我們要表示組合函數uv随x變化的變化量。就像我們對三角函數所做的那樣，我們可以用表示函數斜率的比率來表示這個變化。

分子上的最後一個乘積，du dv可以忽略不計。這是因為(du dv)/dx隻包含無窮小，它對結果沒有影響。

讓我們看看下面的這個例子。

這兩個函數在一起。

你能說出哪個函數是原函數，哪個是斜率函數嗎？斜率函數的值總是與原始函數在任意x值處的斜率相匹配。

除法的法則

有一個除法法則。看看你能不能從乘法法則和幂法則中推導出來。用負指數把分母變成分子。這是你應該得到的結果：

指數函數和對數

指數函數以與函數值成正比的速度增長。比例常數是對數。

對數函數的斜率如下：

複合函數求導法則

最後，我們來看函數的功能。

這裡有一個操作的小符号：

将這個過程應用到我們的例子中：

這就是它看起來的樣子，哪個是原函數？哪個是斜率函數？

當微積分剛發明的時候，它缺乏我們現在所期望的嚴謹性。在19世紀，柯西将極限理論應用于微積分。在20世紀中葉，亞伯拉罕·羅賓遜将非标準分析正式化。他的系統定義了超實數——實數的擴展。大多數微積分教科書都使用極限來嚴格地證明微積分定理。在本文中，我采用了一種不那麼嚴格的方法。我沒有像羅賓遜那樣嚴格地定義無窮小。然而，我試圖提取他方法的精髓。

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