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在上一篇文章中，我們主要介紹了在計算機中使用定點數表示數字的方式。
簡單回顧一下，簡單來說，用定點數表示數字時，會約定小數點的位置固定不變，整數部分和小數部分分别轉換為二進制，就是定點數的結果。
但用定點數表示小數時，存在數值範圍、精度範圍有限的缺點，所以在計算機中，我們一般使用「浮點數」來表示小數。
這篇文章，我們就來詳細看一下浮點數到底是如何表示小數的，以及浮點數的的範圍和精度有多大。
什麼是浮點數？首先，我們需要理解什麼是浮點數？
之前我們學習了定點數，其中「定點」指的是約定小數點位置固定不變。那浮點數的「浮點」就是指，其小數點的位置是可以是漂浮不定的。
這怎麼理解呢？
其實，浮點數是采用科學計數法的方式來表示的，例如十進制小數 8.345，用科學計數法表示，可以有多種方式：
8.345=8.345*10^0
8.345=83.45*10^-1
8.345=834.5*10^-2
...
看到了嗎？用這種科學計數法的方式表示小數時，小數點的位置就變得「漂浮不定」了，這就是相對于定點數，浮點數名字的由來。
使用同樣的規則，對于二進制數，我們也可以用科學計數法表示，也就是說把基數 10 換成 2 即可。
浮點數如何表示數字？我們已經知道，浮點數是采用科學計數法來表示一個數字的，它的格式可以寫成這樣：
V=(-1)^S*M*R^E
其中各個變量的含義如下：
如果我們要在計算機中，用浮點數表示一個數字，隻需要确認這幾個變量即可。
假設現在我們用 32 bit 表示一個浮點數，把以上變量按照一定規則，填充到這些 bit 上就可以了：
假設我們定義如下規則來填充這些 bit：
按照這個規則，将十進制數 25.125 轉換為浮點數，轉換過程就是這樣的（D代表十進制，B代表二進制）：
所以符号位 S = 0，尾數 M = 1.001001(B)，指數 E = 4(D) = 100(B)。
按照上面定義的規則，填充到 32 bit 上，就是這樣：
浮點數的結果就出來了，是不是很簡單？
但這裡有個問題，我們剛才定義的規則，符号位 S 占 1 bit，指數位 E 占 10 bit，尾數 M 占 21 bit，這個規則是我們拍腦袋随便定義出來的。
如果你也想定一個新規則，例如符号位 S 占 1 bit，指數位 E 這次占 5 bit，尾數 M 占 25 bit，是否也可以？當然可以。
按這個規則來，那浮點數表示出來就是這樣：
我們可以看到，指數和尾數分配的位數不同，會産生以下情況：
早期人們提出浮點數定義時，就是這樣的情況，當時有很多計算機廠商，例如IBM、微軟等，每個計算機廠商會定義自己的浮點數規則，不同廠商對同一個數表示出的浮點數是不一樣的。
這就會導緻，一個程序在不同廠商下的計算機中做浮點數運算時，需要先轉換成這個廠商規定的浮點數格式，才能再計算，這也必然加重了計算的成本。
那怎麼解決這個問題呢？業界迫切需要一個統一的浮點數标準。
浮點數标準直到1985年，IEEE 組織推出了浮點數标準，就是我們經常聽到的 IEEE754 浮點數标準，這個标準統一了浮點數的表示形式，并提供了 2 種浮點格式：
為了使其表示的數字範圍、精度最大化，浮點數标準還對指數和尾數進行了規定：
除了規定尾數和指數位，還做了以下規定：
有了這個統一的浮點數标準，我們再把 25.125 轉換為标準的 float 浮點數：
所以 S = 0，尾數 M = 1.001001 = 001001(去掉1，隐藏位)，指數 E = 4 127(中間數) = 135(D) = 10000111(B)。填充到 32 bit 中，如下：
這就是标準 32 位浮點數的結果。
如果用 double 表示，和這個規則類似，指數位 E 用 11 bit 填充，尾數位 M 用 52 bit 填充即可。
浮點數為什麼有精度損失？我們再來看一下，平時經常聽到的浮點數會有精度損失的情況是怎麼回事？
如果我們現在想用浮點數表示 0.2，它的結果會是多少呢？
0.2 轉換為二進制數的過程為，不斷乘以 2，直到不存在小數為止，在這個計算過程中，得到的整數部分從上到下排列就是二進制的結果。
0.2*2=0.4->0
0.4*2=0.8->0
0.8*2=1.6->1
0.6*2=1.2->1
0.2*2=0.4->0（發生循環）
...
所以 0.2(D) = 0.00110...(B)。
因為十進制的 0.2 無法精确轉換成二進制小數，而計算機在表示一個數字時，寬度是有限的，無限循環的小數存儲在計算機時，隻能被截斷，所以就會導緻小數精度發生損失的情況。
浮點數的範圍和精度有多大？最後，我們再來看一下，用浮點數表示一個數字，其範圍和精度能有多大？
以單精度浮點數 float 為例，它能表示的最大二進制數為 1.1.11111...1 * 2^127（小數點後23個1），而二進制 1.11111...1 ≈ 2，所以 float 能表示的最大數為 2^128 = 3.4 * 10^38，即 float 的表示範圍為：-3.4 * 10^38 ~ 3.4 * 10 ^38。
它能表示的精度有多小呢？
float 能表示的最小二進制數為 0.0000....1（小數點後22個0，1個1），用十進制數表示就是 1/2^23。
用同樣的方法可以算出，double 能表示的最大二進制數為 1.111...111（小數點後52個1） * 2^1023 ≈ 2^1024 = 1.79 * 10^308，所以 double 能表示範圍為：-1.79 * 10^308 ~ 1.79 * 10^308。
double 的最小精度為：0.0000...1(51個0，1個1)，用十進制表示就是 1/2^52。
從這裡可以看出，雖然浮點數的範圍和精度也有限，但其範圍和精度都已非常之大，所以在計算機中，對于小數的表示我們通常會使用浮點數來存儲。
總結這篇文章我們主要講了數字的浮點數表示方式，總結如下：
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