曆史總是在偶然和必然的交織中前行——如果說對數的發明是社會發展和科學進步的必然訴求，那麼最初産生對數思想的靈感，卻是生活帶給科學家們的一絲不經意的小确幸.

一、對數思想的萌芽

• 阿基米德（公元前287-公元前212）

在解決“數沙粒”的問題時，數學家阿基米德驚喜地發現了一個規律：給出相鄰兩數比值相等一列數，任取兩個數和相乘，它們的積還在這列數中，并且乘積的序号與的序号差等于的序号與的序号差,所以和的乘積是，即 .

阿基米德的内心獨白：

對于這種相鄰兩數比值總相等的一列數（不妨叫做“等比數列”），我找到了計算兩數乘積比較簡便的方法：等比數列中，兩數乘積等于它們的序号做加法對應的數。這就有點兒對數思想——“化乘除為加減”的味道了，可惜我沒有繼續深入這項工作，從此便與對數失之交臂。真是太遺憾了！

古希臘哲學家 阿基米德(公元前287年—公元前212年)

• 丘凱（約1450—1500）

不同的時代，人們對于數的平方和立方都分别賦予不同的符号，要表達一個數的高次幂，就要用這些符号的組合來實現. 15世紀，法國數學家丘凱直接用指數來标識未知數的幂次，他不僅将指數0賦予常數項，還引入了負的整數指數.丘凱發現數的各次幂進行乘除計算時，隻需要對相應的指數相加減，為了說明他的結論，他做了一個2的各次幂與指數的對應表.

丘凱的内心獨白：

阿基米德先生每次算乘積都得以第一個數為基準找位置，多少還是有點麻煩！我比他進步的地方在于，給每個數分配了一個指數，這樣對兩數進行乘除時，就可以直接用它們的指數做加減運算.可惜我的想法在當時來說太抽象，沒有在我生活的時代對社會産生太大的影響.

15世紀，法國最傑出的數學家是丘凱

• 斯蒂菲爾（約1487-1567）

德國數學家斯蒂菲爾在他的《整數的算術》裡也指出：等比數列的各項與它們的“代表數”——各項的指數所形成的等差數列0,1,2,3，……的各項之間，存在簡單的對應關系，并且把這種關系表述為：如果将數列中的任意兩項相乘，其結果與直接将“代表數”相加所得的值“代表”的項相同.類似地，将任意兩項相除，将“代表數”相減即可.

斯蒂菲爾的内心獨白：

丘凱跟我實際上都相當于制作了一個粗糙的對應表：下一行是等比數列中的各項，上一行是相應的指數。要計算16128，隻需要通過查表找到對應的指數4和7，二者之和是11，再通過查表找到指數11對應的2048。這個2048就是16128的結果.

這樣就把乘法運算轉化為低一級的加法運算了！如果能找到一種方法，把一般的整數甚至是分數的乘法運算也轉化為加法，那可真是“功在當代，利在千秋”.我曾努力嘗試去做這樣的推廣，比如計算713，如果能找到7的“代表數”p和13的“代表數”q，也就是就好了.可這時候p,q顯然不是整數，那麼又是什麼意思呢？在我生活的時代根本回答不了這個問題，我隻好放棄了 ……

如果被除數的“代表數”小，又該如何呢？斯蒂菲爾把兩個數列間的這種聯系推廣到了負指數的情形.例如，，而它們的指數之差為1﹣2=﹣1，所以把指數-1賦予. 這樣一來，上面對應表中兩個數列就可以往兩個方向擴展到無窮多項，并且仍然滿足：乘積的“代表數”是各自“代表數”之和，商的“代表數”是各自“代表數”之差.

曆史的車輪仍在滾滾前進，天文學、物理學、地理學、三角學等領域不斷發展，這些科學日新月異的發展帶來了龐大的數學計算需求，科學家們每天不得不花大量的時間專注于大量繁瑣複雜的數字運算，他們迫切的需要一項偉大的數學發明來簡化數學運算，将他們從這些繁瑣的任務中解救出來。在這樣的曆史機遇下，對數橫空出世了.

二、對數的發明

要想通過查表化乘除運算為加減運算，關鍵是這張表要足夠大，大到把所有數都包含進來. 前人一直在“代表數”上尋找突破口——突破整數的限制，比如斯蒂菲爾，卻始終不得其法。究其原因在于，當時的人們并不理解分數指數幂的意義，更别提連續變化的實數指數幂了.

既然無法對“代表數”加以推廣，便有人另辟蹊徑，取消了對q是整數的限制. 那麼q取什麼數合适呢？要讓對數表無所不包，也就是相鄰的數間隙很小，顯然q要和1非常接近，但又不等于1. 于是，納皮爾和比爾吉站在巨人的肩膀上，從兩個不同的方向獨立地發明了對數.

• 納皮爾（1550-1617）

蘇格蘭數學家納皮爾很可能是受德國數學家約翰·維爾納推導三角函數積化和差等公式能夠化乘除為加減，簡化運算的啟發。

經過數年的斟酌，終于發明了對數。納皮爾在1614年出版了《奇妙的對數定律說明書》一書，書中附有他已經計算好的對數表.

約翰·納皮爾關于對數的著作《奇妙對數規則的說明》扉頁

納皮爾的對數表實際上是選取了.随後納皮爾在另一本書中，借助質點運動模型闡述了發明對數方法：假設有兩個質點P和Q，同時從A和C出發，它們的初速度相同.質點P沿着線段AB運動，且在任一點P的速度值正比于它未經過的距離PB；質點Q沿着射線CD勻速運動，那麼CQ稱為PB的對數.

納皮爾的内心獨白：

大概很多人會問，我構造了這麼抽象的質點運動，運動過程都還沒

想明白呢，怎麼就突然定義了對數呢？這個對數表又是如何計算出來的？

乍一看，這和前輩數學家們化兩數乘除為其“代表數”加減的思想好像

沒什麼關系，但實際上它們的基本原理是相同的.

蘇格蘭數學家 納皮爾（1550年-1617年）

假定P和Q的初速度都為，并且AB長度也是，質點P在任一點的速度值等于AB未經過的距離.設CD表示單位距離1，也就是Q要經過時間以後到達D，而在這段很小的時間間隔内，可以把P的運動視為勻速直線運動，且P運動到，速度為，因此.也就是說質點P運動到點的速度近似等于PB.

再經過一個時間間隔後，設Q到達，P到達，在這段很小的時間間隔内，P的運動仍然可以近似地看成勻速直線運動，速度等于，所以近似地有=，因此= ﹣= ﹣≈9 999 998，這也近似地等于P在點的速度。同理，如果P在後面的各個小時間段（時間間隔仍取）後依次到達, ，……，通過不斷地做減法，将得到相應的距離，，……是

= ﹣= ﹣ ≈9 999 997，

= ﹣≈9 999 996，……

如果Q在後面的各個小時間段後，相應地依次到達, ，……，那麼

=1，=2，=3，=4，…

這就得到了我的第一張對數表，其中第二行的數是通過做減法得到的，不過按照上面的分析，不難看出每一個數都是通過前一個數減去它的得到的，也就是每一個數都是前一個數的（1﹣）倍，所以對數表中第二行所有的數實際構成了一個等比數列，相鄰兩項之比為，所以我的對數表也可以寫成如下的形式：

看出來了吧？由于這個等比數列中相鄰兩項的比非常接近1，所以我的對數表中最後一行的數幾乎是“連續”的。這樣一來要計算兩個大數M和N的乘積，隻要通過查表找到與M和N最接近的數，然後分别确定他們的對數m和n，再在對數表中找到對數和m n所對應的的數L，那麼MN=L（稍微計算一下，就不難理解這種查表計算大數乘積的方法了 ：。是不是方便多了，數學家拉普拉斯說：“對數用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍”。

• 比爾吉（1552-1632）

比爾吉曾擔任過著名天文學家開普勒的助手，經常接觸複雜的天文計算，于是他産生了化簡數值計算的強烈願望.受斯蒂菲爾工作的影響，他選取，建立了自己的對數體系，并于1620年發表在《等差數列和等比數列表》中，表中記載了兩串數字.

比爾吉的對數表

比爾吉的内心獨白：

納皮爾創造性地用幾何的方法構造了他的對數體系，我實在是佩服.比較而言，我用的是純代數的方法，更多的是在前人成果的基礎上發現的對數.雖然我也很早就獨立地發現了對數，卻遲遲沒有發表，後世提起對數最先想到的都是納皮爾。納皮爾因此流芳千古，而我快要被曆史遺忘了，所以科研成果的及時發表真的很重要！

三、對數的發展

納皮爾的對數一經問世便立即受到狂熱的追捧，并很快地傳遍了歐洲.納皮爾也為此收獲了一大批數學家粉絲，倫敦格雷欣學院的幾何教授亨利·布裡格斯就是其中一位.

• 布裡格斯（1561-1631）

布裡格斯在得知納皮爾的對數表以後，為之深深着迷，他決定親自去拜訪自己的“愛豆”.不過布裡格斯是一個理性的追星者，見到納皮爾後，他一方面表達了自己的崇拜之情，同時提出了兩條讓納皮爾的對數表更便于使用的修改建議：一是，将0作為1而不是的對數；二是，一個數的對數應該等于這個數寫成10的幂後相應的指數.

納皮爾欣然接受了布裡格斯的建議。他們經過多次讨論和嘗試，最後決定把1作為10的對數，0作為1的對數. 如果正數N可表示為，那麼L是以10為底N的常用對數，寫成logN或簡寫為lgN，“底數”的概念由此誕生.

由于納皮爾年事已高，沒有精力計算新的對數表了.于是布裡格斯光榮地接手了這項任務，并于1617年在一本小冊子《一千個數的對數》中給出了1～1000的14位常用對數表，這是第一個公開發行的常用對數表.布裡格斯具體的做法是：逐次地取10的平方根，一直取了54次，得到了一個略大于1的數作為他的q，然後用q不斷自乘就得到間隙很小的一列數.

接下來在制作對數表時，布裡格斯沒有直接用q的指數作為對數，而是把這列數寫成10的幂的形式，用幂指數作為相應的對數，比如的對數是，而不是3.

布裡格斯的内心獨白：

我實際上是選取了另外一個非常接近1的數，對納皮爾先生的對數表加以改進，做這樣的修改主要有兩點考慮：

一是，我們平時采用的數系主要是十進制的，選取10為底，運算起來更方便；

二是，稍加驗證，就會發現納皮爾先生的對數表不嚴格滿足兩數乘積的對數等于各自對數之和.修改後的對數表彌補了這一缺憾.

這樣一來求任意兩個數的乘積，就可以通過查表找到它們的對數，進而找到對數和所對應的數，即為它們的乘積.

布裡格斯《一千個數的對數》中的一頁

四、對數的現代定義

盡管納皮爾、比爾吉和布裡格斯等受限于對實數指數幂的認識，但他們聰明地繞開了指數，另辟蹊徑選取了不同的“q”，做成了各種各樣的幾乎無所不包的近乎“連續”的對數表.納皮爾雖然發明了對數，卻沒有給出對數的定義.像布裡格斯那樣“取固定的底數，以它的幂來代表數，并定義幂指數為該數的對數”的做法雖然容易理解，但在17世紀初期，人們并不把對數定義為指數，因為那時的人們依然對分數指數幂和無理數指數幂的意義不是十分清楚.

随着數學的發展，數學家們得以把整數指數幂及其運算性質推廣到分數指數幂。而微積分的發明和發展，使得數學家們終于揭開了實數指數幂的神秘面紗.于是到17世紀末，開始有人認識到對數可以按照布裡格斯那樣來定義，大數學家歐拉也早就在日常工作中把對數定義為指數，并且一直使用，但直到1742年瓊斯才第一次對這種方法作了系統的叙述.

• 瓊斯（1675—1749）

瓊斯在給加德納所著的《對數表》寫的序言中，給出了實數的對數的定義：已知a是不等于1的正數，如果a的b次幂等于N，即，那麼b叫作以a為底的N的對數，用記号表示，其中a>0且a≠1，N>0.

英國數學家 威廉·瓊斯（1675年－1749年）

瓊斯的内心獨白：

你可能會說，“對數”是納皮爾先生最先發明的，我為什麼又定義了一個“對數”，我們的對數是一樣的嗎？哈哈，為了區分，我們不妨把納皮爾先生的對數叫做納皮爾對數(也給個記号Naplog)，稍加驗證，你就能發現納皮爾先生的對數表中第一行對數值x和第二行中的數y滿足

也就是說，其中，這裡的q是跟取得很小的時間間隔有關的。實際上納皮爾先生構造對數的質點運動模型是連續的，如果考慮極限情況，相應的q将會變成一個常數，納皮爾對數也将會變成.想要更多地了解這個神秘常數e，歡迎持續關注.

把“代表數”推廣到了實數，還給“代表數”起了個專門的數學名稱——對數，相應地就有“乘積的對數等于各自的對數和”，并且把離散的對數表徹底地“連續化”, 到此可以說斯蒂菲爾等數學家們未完的事業終于完成了.我很幸運自己生活在這個時代.其實不光是對數，科學史上每一個重大成就都是一部踏着前人的足迹,不斷砥砺前行的奮鬥史！

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