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不得不說最近關于“陶哲軒的線性代數新公式”成為數學圈内最熱的話題，從開始的驚詫到後面八卦娛樂，讓不少人充滿了歡樂。我們哆嗒數學網也發了文章，說明論文中的所謂的“新公式”并非首發。在這篇文章之前，這個公式已經不止一次出現在其他論文或者教材中了。其中目前發現最早有記載這個公式的論文在四十多年前的1968年。

這裡我們希望每一個關心這件事情的人不要嘲笑當局者的任何一方，畢竟數學學科樹大根深，誰也不知道從哪個犄角旮旯裡出現了一個大家都不熟知的“沉睡”了許久的簡單結果

。就算菲爾茲獎得主陶哲軒，也不例外，不是是什麼零零碎碎的知識，他都能迅速通過肉腦搜索出來。他出現這個烏龍，一點也不奇怪。

喧嚣過後，我們哆嗒數學網的小編們突然想到，這個公式本身是真的，不是嗎？再進一步思考發現，難得有菲爾茲得主發表的文章，其中的數學内容能讓一個普通的大學生有可能看得懂、理解的了，說不定還能欣賞、評鑒……

——而且這還是網上熱點，絕佳的一個聊聊線性代數的機會不是嗎？

好了，我相信大多數關心這個新聞的人都還不知道這個公式具體是啥，因為數學家們使用的符号會讓讓人吓得退避三舍，不敢再深究。這篇文章将把正在讀這篇文章的人看成非數學系的理工科考研黨（或者相應水平），用一個簡單的例子來解讀這個公式到底在說啥。

首先，你都是考研黨了，一定會複習線性代數這門課程的内容。知道矩陣、特征值、特征向量概念。陶哲軒的這個公式就是針對埃爾米特矩陣求特征值的公式。什麼不知道什麼是埃爾米特矩陣？不慌，這個類型的矩陣可能不是每一個學習線性代數的同學都會學，但是另外一個概念一定會學：實對稱矩陣——矩陣裡每個變量都是實數，且其轉置等于本身的方陣。實對稱陣是一種特殊埃爾米特矩陣，作為考研黨的你，就把這個公式結果認為是針對是對稱陣的，這樣不會影響你品味這個公式。

好了，你理解了，這是一個可以對實對稱陣求特征向量的公式。無論你大學老師還是你的考研輔導班的名師都會告訴你求方陣A特征向量的流程：

第一步：計算行列式|λI-A|=0的根，這個行列式的結果是個n階多項式，會得到n個特征值，這裡可能有重根。

第二步：對剛才每個特征值λ，解線性方程組(λI-A)X=0，找到每個方程的線性無關的的解，得到的解就是特征值λ對應的特征向量。

這裡，幫你回憶一下用到的知識點，第一步你要會求行列式、大多時候你還要分解因式來求解方程的根。第二步，你要用到解線性方程組，有可能用到高斯消元法。

陶哲軒的那個新公式告訴你，哪怕你很菜，直到你上考場之前，都沒掌握解線性方程組的方法，你一樣也有可能解出特征向量，而且用到的知識點全部都在第一步當中——你隻要會求特征根就行。

——少記憶一個知識點，這樣講是不是很吸引人？

這個公式會在第二步會拆成下面幾個分步做：

新第二步第一分步：删掉A第1行第1列的元素，得到子矩陣，删掉A第2行第2列的元素，得到子矩陣，……，删掉A第n行第n列的元素，得到新矩陣。最後得到n個子矩陣。

新第二步第二分步：每個子矩陣計算特征值。這樣每個子矩陣有n-1個特征值，這樣的特征值有n組。

新第二步第三分步：通過以上不同地方計算得到的特征值，直接計算每個特征向量的分量值的絕對值。在通過線性無關的關心決定去掉絕對值的選取的符号。

陶哲軒的公式在原文裡是這樣的，很吓人。

于是，我們針對三階實對稱方陣來把他簡化成下圖這樣。

我們做一道具體的題目，就算下面這道，怎麼樣，是不是很像你們的課後習題或者期末考試題？

這道題很容易算出x，y的值。最後就算找一個正交矩陣做對角化的問題。那個要找的矩陣P就算單位化的特征向量拼成一個矩陣而已。

特征值是，2，1，-1 ，也就是：

按傳統做法，回去解下面的三個線性方程組，分别得到特征向量。最後得到P。

新公式的辦法，會先分列子矩陣，分别計算特征值。

然後套公式解出每個分量的絕對值。

你會發現，有兩個特征向量的每個分量絕對值是完全一樣的，因為特征向量需要線性無關，于是很容易決定正負号的選擇。另外哪個是特征值1對應的特征向量，哪個是特征值-1的特征向量還要做乘法試一試。

這樣同樣能得到P的結果：

當然，我們曾經試圖使用這個方法想辦法解決四階方陣的問題，一般計算量會更大，并不實用。

好了，不知道你在考試中這樣做會不會得分，不過的确沒有解過任何線性方程組，答案也是對的。

總之，祝你好運！

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