最近學習了一個積分極限的近似計算方法，感覺很不錯，分享一下。

要估計的積分具有如下指數積分形式：

參數λ恒大于零，而A(x)是一個光滑函數。要求近似估計如下積分

注意：這裡并不是要計算這個積分極限，而是給出當λ趨于0時，上述積分的一種漸進表達式。區别就如同下面兩個式子（i)和（ii）：顯然，（i)包含的信息要比（ii)多得多。

這裡也希望找到一個類似(i)的近似表達式。

首先觀察積分形式，是一種指數積分形式，當正參數λ趨于0時，指數A(x)/λ趨于正無窮，從而-A(x)/λ趨于負無窮，這個積分應該是收斂的。

如何估計上述積分呢？這裡用到了非常簡單的數學思想：

對一個大于零的實變函數，其在整個實軸上的積分，可由被積函數在取得最大值的一小塊鄰域上的積分近似。

即：

且

原問題中被積函數e^(-A(x)/λ)就相當于上圖中f(x)的位置。

回到原問題。

假設函數A(x)在x = xc處有一個最小值，那麼對應到相應的指數函數e^(-A(x))，顯然将在x = xc處取最大值。特别地，當正參數λ趨于0時，指數函數e^(-A(x)/λ)趨于0，在x = xc處指數函數取到最大值，其趨于0的速度最慢，這一小塊鄰域的積分将在整個積分中占主導地位！

基于上述思想，我們來給出原指數積分的一種漸進表達式。

假設x = xc是函數A(x) 的最小值點，于是在xc的附近的一小塊鄰域上，我們有

既然積分區間已經放到了以xc為中心的一小塊鄰域上，那麼自然地，我們可以用更簡單的多項式函數來近似代替A(x)，即考慮A(x)在x = xc處的Taylor展開：

由于x = xc是函數A(x) 的最小值點，那麼A(x)在該點處的導數為零，二階導數大于零（後面會用到）。于是，我們舍棄2次以上的高階項，有

代入積分表達式中，有

問題就轉化為估計：

首先，可以将被積函數中的常數項提到積分外，即

有沒有發現，以上數學步驟之間存在一個矛盾：一方面，為了讓xc的附近的一小塊鄰域能夠更準确地估計整個積分，這個鄰域應該越大越好；另一方面，為了使A(x)的二階Taylor級數能夠更準确地估計原函數A(x)，這個鄰域又應該越小越好。

我們做變量代換

上述積分變為

當正參數λ趨于0時，上述積分将趨近于

根據Gauss積分

我們最終得到

即

（這裡就用到了二階導數大于零）

根據以上公式，我們可以很容易地推導Stirling公式。

首先，根據歐拉對階乘函數的推廣，有

之前得到的公式中，被積函數是一個指數函數，因此将x^n改寫成指數形式，于是

先求函數x - nlnx的最小值點：求導，得

當x=n時取極值。顯然，這個依賴于n的極值點不是我們希望的極值點。

做變量代換y = x/n，即x = yn，于是上述積分變為

其中的常數部分可提取到積分前面，于是

當n趨于正無窮時，1/n趨于零，這裡1/n就相當于原問題中的λ。函數A(y) = y - lny。顯然yc = 1是函數的最小值點，即

代入漸進公式

立得

整理一下，即得Stirling公式：

根據以上積分估計的思想，在進行Taylor展開時，我們可以保留更高階的項，得到更精确的近似表達式，從而改進Stirling公式，提出更精确的階乘近似表達式。

上述漸進計算公式在物理學中也有廣泛應用，如Feynman路徑積分、精細結構常數的計算等等。

Feynman

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