例1：

最初的數和最簡的圖相對應.

這是古希臘人的觀點，他們說一切幾何圖形都是由數産生的.

例2：

我國在春秋戰國時代就有了“洛圖”(見下圖).圖中也是用“圓點”表示數，而且還區分了偶數和奇數，偶數用實心點表示，奇數用空心點表示.你能把這張圖用自然數寫出來嗎?見下圖所示，這個圖又叫九宮圖.

例3：

古希臘數學家畢達哥拉斯發現了“形數”的奧秘.比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形數.因為用圓點按這些數可以堆壘成三角形，見下圖.

畢達哥拉斯還從圓點的堆壘規律，發現每一個三角形數，都可以寫成從1開始的n個自然數之和，最大的自然數就是三角形底邊圓點的個數.

第一個數：1=1

第二個數：3=1 2

第三個數：6=1 2 3

第四個數：10=1 2 3 4

第五個數：15=1 2 3 4 5

…

第n個數：1 2 3 4 5 … n

指定的三角形數.比如第100個三角形數是：

例4：

畢達哥拉斯還發現了四角形數，見下圖.因為用圓點按四角形數可以堆壘成正方形，因此它們最受畢達哥拉斯及其弟子推崇.

第一個數：1=12=1

第二個數：4=22=1 3

第三個數：9=32=1 3 5

第四個數：16=42=1 3 5 7

第五個數：25=52=1 3 5 7 9

…

第n個數：n2=1 3 5 9 … (2n-1).

四角形數(又叫正方形數)可以表示成自然數的平方，也可以表示成從1開始的幾個連續奇數之和.奇數的個數就等于正方形的一條邊上的點數.

例5：

類似地，還有四面體數見下圖.

仔細觀察可發現，四面體的每一層的圓點個數都是三角形數.因此四面體數可由幾個三角形數相加得到：

第一個數：1

第二個數：4=1 3

第三個數：10=1 3 6

第四個數：20=1 3 6 10

第五個數：35=1 3 6 10 15.

例6：

五面體數，見下圖.

仔細觀察可以發現，五面體的每一層的圓點個數都是四角形數，因此五面體數可由幾個四角形數相加得到：

第一個數：1=1

第二個數：5=1 4

第三個數：14=1 4 9

第四個數：30=1 4 9 16

第五個數：55=1 4 9 16 25.

例7：

按不同的方法對圖中的點進行數數與計數，可以得出一系列等式，進而可猜想到一個重要的公式.

由此可以使人體會到數與形之間的耐人導味的微妙關系.

方法1：先算空心點，再算實心點：

22 2×2 1.

方法2：把點圖看作一個整體來算32.

因為點數不會因計數方法不同而變，所以得出：

22 2×2 1=32.

方法1：先算空心點，再算實心點：

32 2×3 1.

方法2：把點圖看成一個整體來算：42.

因為點數不會因計數方法不同而變，所以得出：

32 2×3 1=42.

方法1：先算空心點，再算實心點：

42 2×4 1.

方法2：把點圖看成一個整體來算52.

因為點數不會因計數方法不同而變，所以得出：

42 2×4 1=52.

把上面的幾個等式連起來看，進一步聯想下去，可以猜到一個一般的公式：

22 2×2 1=32

32 2×3 1=42

42 2×4 1=52

…

n2 2×n 1=(n 1)2.

利用這個公式，也可用于速算與巧算.

如：92 2×9 1=(9 1)2=102=100

992 2×99 1=(99 1)2

=1002=10000.

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