網上有家長提問——

a、b、c、d是四個連續自然數，已知a×b×c×d=x，并且x的個位不為0，則x的個位是______.

1. 不難看出這是一道數論題，數論是解析重組自然數的學問；
2. 數論七字訣“因倍質合餘方位”，“因倍”是指因數、倍數、因數分解、公因、公倍、最大公因、最大公倍、因數定理等，“質合”是指質數、合數、分解質因數、質數判定、質數性質、特殊質數、乘積末尾0個數等，“餘”是指帶餘除法、整除(餘數)特征、餘數性質、同餘、剩餘等，“方”是指乘方、平方數等，“位”是指位值原理，進位制等；
3. 看到“四個連續自然數的乘積”和“乘積個位不為0”很自然就會想到“因”、“質”，從而想到去研究自然數中是否含有“2”、“5”；
4. 但僅僅研究因數分解、質因數是不夠的，我們還需要考慮到“餘”；
5. 充分利用餘數的性質、整除(餘數)特征、以及化帶餘除法為乘法表達式的技巧，便可化繁為簡.

充分結合整除與餘數兩方面知識才能解決

1. 2×5=10，10乘某自然數的乘積個位必為0；
2. 若幹個自然數相乘，隻要它們的質因數裡面有2以及5，乘積末尾必有0[1]；
3. 四個連續自然數必有偶數[2]，并且若幹個自然數相乘，但凡有一個自然數是偶數，乘積必為偶數[3]；
4. 因為乘積x是偶數，則x=2×□，而隻要x還含有質因數5，末尾必為0，所以x不含質因數5[4]；
5. 因為乘積x不含質因數5，則四個自然數a、b、c、d均不含質因數5[5]；
6. 因為四個自然數均不含質因數5，所以a、b、c、d除以5的餘數不為0[6]；
7. 任何不能被5整除的自然數，除以5的餘數隻有4種可能：餘1、餘2、餘3、餘4；
8. 又因為四個連續自然數可表示為a、a 1、a 2、a 3，這四個數除以5的餘數一定兩兩不等[7]；
9. 綜合第7條與第8條可以推出：這四個連續自然數a、b、c、d除以5的餘數必定分别為1、2、3、4[8]；
10. 根據餘數的可乘性[9]，x除以5的餘數等于“a除以5的餘數×b除以5的餘數×c除以5的餘數×d除以5的餘數”，即x除以5的餘數等于“1×2×3×4=24”；
11. 由于餘數24大于除數5，所以應繼續除下去：24÷5=4······4，所以x除以5的餘數為4[10]；
12. 因為x除以5餘4，所以x=5×□ 4，又因為x是偶數，所以□一定是偶數，于是□=2×△[11]，代入原式得x=5×2×△ 4=10×△ 4，即x是一個10的倍數再加4，也即，x除以10餘4，換言之——x是的個位是4.

答：x的個位是4.

1. 這是一道數論題，數論是解析重組自然數的學問；
2. 數論七字訣“因倍質合餘方位”，除了“餘”，其餘都是研究整除；
3. 看到“四個連續自然數的乘積”和“乘積個位不為0”很自然就會想到“因”、“質”，從而想到去研究自然數中是否含有“2”、“5”；
4. 但僅僅研究因數分解、質因數是不夠的，我們還需要從“四個自然數均不含質因數5”的整除思維切換到“四個自然數除以5的餘數非0且不同”這樣的餘數思維；
5. 充分利用餘數的性質、整除(餘數)特征、以及化帶餘除法為乘法表達式的技巧，便可化繁為簡.
6. “因倍質合餘方位”，“餘”雖一個字，撐起數論半邊天.

1. ^舉幾個例子：8×12=(2×2×2)×(2×2×3)=96、25×15=(5×5)×(3×5)=375、25×6=(5×5)×(2×3)=150、25×4=(5×5)×(2×2)=100，可以看出若幹自然數相乘：①質因數裡2再多沒有5乘積末尾沒有0，②質因數裡5再多沒有2乘積末尾沒有0，③質因數中一個2與一個5搭配得到乘積末尾的一個0，④有多少對2和5乘積末尾就有幾個連續0.
2. ^四個連續自然數中必有偶數：設四個連續自然數中最小數為a，①若a為奇數，則a 1（四個自然數中第二小的數）必為偶數，②若a為偶數，本身就已經符合.
3. ^舉例：2×3×5×7=210（偶數），3×3×5×7=315（奇數）.
4. ^可以理解為x由若幹個“零件”相乘“組裝”而成，x的零件裡沒有“5”.
5. ^a、b、c、d可以理解為x的“組件”，這些“組件”可進一步拆解為“零件”，既然最終完成品x不含“5”，那麼構成x的組件a、b、c、d的“零件”裡也不可能有“5”.
6. ^隻要自然數除以5餘0，就可以認為該自然數能被5整除.
7. ^設n,m,q,r為自然數且m>r>0，帶餘除法n÷m=q······r可以變形為n=mq r，那麼n 1=mq (r 1)，n 2=mq (r 2)，n 3=mq (r 3)，隻要m>(r 3)，r、(r 1)、(r 2)、(r 3)一定是四個不同的餘數.
8. ^a除以5必定餘1，否則必有b、c、d的某個數除以5餘0，與前面的推理不符，舉例：若a除以5餘2，則b除以5餘3，則c除以5餘4，則d除以5餘0（本來d除以5餘5，但餘數不能等于除數，如果等于了，可以再多除一次，于是餘數變為0），若a除以5餘3或餘4同樣可得到能被5整除的b或c或d.
9. ^餘數的可乘性說的是“積之餘等于餘之積”，即若幹個自然數的乘積除以某數的餘數等于這若幹個自然數分别除以某數的餘數的乘積（若乘積大于除數應繼續除至小于除數為止），舉例：24除以5餘4，6除以5餘1，24×6=144，那麼144除以5餘——4×1=4.
10. ^也可以這樣來理解：設k為自然數，x=5k 24=5k 5×4 4=5(k 4) 4.
11. ^x分為兩部分：5×□和4，4本身是偶數，所以想要x是偶數就必須讓5×□是偶數（偶數＋偶數=偶數），而5×□中5是奇數，奇數必須乘偶數才能得到偶數，所以□一定是偶數，即□=2×△，這裡的□、△都是待定自然數.

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