多變量高斯分布(multivariate Gaussian distribution)的形式如下：
其中， 是D維 mean vector， 是 協方差矩陣， 裡面的第 i 行第 j 列元素表示第 i 個變量第 j 個變量的協方差 ， 代表協方差矩陣的行列式。
設 是一個函數，它的輸入是向量 ，輸出是向量 :
那麼 雅可比矩陣 是一個m×n矩陣：
由于矩陣描述了向量空間中的運動——變換，而雅可比矩陣看作是将點 轉化到點 ，或者說是從一個n維的歐式空間轉換到m維的歐氏空間。
如果m = n， 可以定義雅可比矩陣 的行列式，也就是 雅可比行列式（Jacobian determinant） 。
設
雅可比行列式是：
如圖所示：dA代表dx和dy張成的平行四邊形的面積，如果du和dv充分接近于0，那麼dA：
二重積分換元：
n維度情況以此類推。
首先考慮 單變量标準正态分布 ，概率密度函數為：
然後考慮 n 維獨立标準高斯分布，就是 n 個 獨立的 一維标準正态分布随機變量的聯合分布：
為了表達方便，用向量的形式來表示，設 ，式（3）寫作：
一般的，設 由 的線性變換得到：
其中A是 的 非奇異矩陣 ， 是n維向量
可把 用 表示：
注意到， 式（6）線性變換的雅可比行列式 是 ，因此：
設 ，則 ，由聯合概率分布密度的定義，有：
因此，向量 的聯合概率概率密度函數是：
也就得到式（1）
可以看出：多變量高斯分布是單變量高斯分布向多維的推廣。
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