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平面上點到直線的距離公式推導

生活 更新时间:2024-10-20 10:49:04

上篇說到,平面直角坐标系中直線的一般式方程為

平面上點到直線的距離公式推導(記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想)1

我們來推導直線外任意一點(x0,y0)到直線的距離的公式。

平面上點到直線的距離公式推導(記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想)2

假設A、B均不為0,圖中從點G(x0,y0),沿着x軸和y軸方向做兩條輔助線分别交直線于E、F點,那麼E的縱坐标為y0、F的橫坐标為x0,将其分别帶入直線的一般式方程中,

得E的橫坐标為

平面上點到直線的距離公式推導(記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想)3

得F的縱坐标為

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那麼

平面上點到直線的距離公式推導(記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想)5

平面上點到直線的距離公式推導(記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想)6

平面上點到直線的距離公式推導(記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想)7

從點G向直線做垂線DG,根據三角形面積公式得

平面上點到直線的距離公式推導(記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想)8

那麼

平面上點到直線的距離公式推導(記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想)9

當A或B等于0時,經容易驗證上述公式仍然成立。此即為直線外任意一點到直線的通用距離公式。

還有一種證明方法,證明思想是求出垂線所在的直線方程,進而求出交點D的坐标,利用兩點之間的坐标公式即可求出點到直線的距離。

記住證明思想遠比記住結論更重要。

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