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平面上點到直線的距離公式推導

生活更新时间:2025-01-11 00:36:11

上篇說到，平面直角坐标系中直線的一般式方程為

平面上點到直線的距離公式推導（記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想）1

我們來推導直線外任意一點(x0,y0)到直線的距離的公式。

平面上點到直線的距離公式推導（記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想）2

假設A、B均不為0，圖中從點G(x0,y0)，沿着x軸和y軸方向做兩條輔助線分别交直線于E、F點，那麼E的縱坐标為y0、F的橫坐标為x0，将其分别帶入直線的一般式方程中，

得E的橫坐标為

平面上點到直線的距離公式推導（記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想）3

得F的縱坐标為

平面上點到直線的距離公式推導（記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想）4

那麼

平面上點到直線的距離公式推導（記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想）5

平面上點到直線的距離公式推導（記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想）6

平面上點到直線的距離公式推導（記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想）7

從點G向直線做垂線DG，根據三角形面積公式得

平面上點到直線的距離公式推導（記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想）8

那麼

平面上點到直線的距離公式推導（記住平面坐标系中點到直線距離公式的證明思想）9

當A或B等于0時，經容易驗證上述公式仍然成立。此即為直線外任意一點到直線的通用距離公式。

還有一種證明方法，證明思想是求出垂線所在的直線方程，進而求出交點D的坐标，利用兩點之間的坐标公式即可求出點到直線的距離。

記住證明思想遠比記住結論更重要。

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