問題：已知二維連續型随機變量(X,Y)的聯合概率密度為f(x,y)，讨論Z=g(X,Y)的密度函數 f__Z(z)。針對X與Y的四則運算，給出相應概率密度公式。

① Z=X±Y

此時，随機變量 Z 的概率密度為

或

當随機變量 X, Y 相互獨立時, 有

或

對于加的情況，上述公式後兩個即卷積公式。

② Z=X·Y

此時，随機變量 Z 的概率密度為：

或

當随機變量 X, Y 相互獨立時, 有：

或

③ Z=X/Y

此時，随機變量 Z 的概率密度為：

當随機變量 X, Y 相互獨立時, 有：

由于使密度函數非0的随機變量X, Y 取值範圍不一定總是全體實數，上述公式中，積分限的變化就會比較複雜，通常積分限都是 z 的函數。以對 x 積分的公式為例，确定變量 x 積分限的具體做法如下。

第①步 由密度函數f(x,y)中y的範圍确定x的範圍。

設聯合密度函數非0的平面區域為D：

a<x<b, c(x)<y<d(x)

從z=g(x,y)解得y=y(x,z), 代入上面不等式：

a<x<b, c(x)<y(x,z)<d(x)

再解上面第二個不等式得：

a<x<b, x_₁(z)<x<x_₂(z)

這一步将c(x)<y<d(x)變為x_₁(z)<x<x_₂(z)。

第②步 根據a<x<b, x_₁(z)<x<x_₂(z)的公共部分确定x的積分限。

注意到，積分限受z值的影響。這一步可用兩種辦法：

方法一：根據不同z值，在(一維)數軸上确定公共部分，即為x的積分區域。

方法二：在(二維)平面上，以z為橫軸，x為縱軸畫出區域：

a<x<b, x_₁(z)<x<x_₂(z)

根據z不同值确定x範圍，即為x的積分區域。

03例子

例 設随機變量(X, Y)的概率密度為

分别求(1)Z=X Y, (2)Z=XY的概率密度。

解 (1)應用前述公式，采用對x積分。

第①步 先确定x的積分區域。聯合密度函數非0區域D：

0<x<1, 0<y<1

從z=x y中解得y=z–x, 代入上面不等式得：

0<x<1, 0<z–x<1

再解上面第二個不等式得：

0<x<1, z–1<x<z

第②步 根據0<x<1, z–1<x<z的公共部分确定x的積分限。

注意到，積分限受z值的影響。這一步可用兩種辦法：

方法一：根據不同z值，在(一維)數軸上确定公共部分，即為x的積分區域。

當z≤0時，無公共部分無積分域，f__Z(z)＝0；

當0<z≤1時，公共部分為0<x<z, 則：

當1<z<2時，公共部分為z-1<x<1, 則：

當z≥2時，也無公共部分，f__Z(z)＝0。

方法二：在(二維)平面上，以z為橫軸，x為縱軸畫出區域：

0<x<1, z-1<x<z

根據z的不同值确定x範圍，即為x的積分區域。顯然有：

當0<z≤1時，積分區間為0<x<z；

當1<z<2時，積分區間為z-1<x<1；

當z≤0或z≥2時，積分區間長度為0。

根據不同積分區域可得密度函數為：

(2)應用前述公式，采用對x積分。

第①步 先确定x的積分區域。聯合密度函數非0區域D：

0<x<1, 0<y<1

從z=xy>0中解得y=z/x, 代入上面不等式：

0<x<1, 0<z/x<1

再解上面第二個不等式得：

0<x<1, x>z

第②步 根據0<x<1, x>z的公共部分确定x的積分限。

注意到，積分限受z值的影響。

當0<z<1時，積分區間為z<x<1，

當z≤0或z≥1時，無積分區間，f__Z(z)＝0。

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