學生提出的簡單疑問

（在某間教室裡）

某一天，學生提出了一個問題。

老師，為什麼在除法運算當中0不能作為除數呢？

學生

對這名提出問題的學生，我決定為他做一番全面細緻的解說，因為他一定是鼓足了勇氣才決定向老師提問的。

老師

謝謝你提出了這個很好的問題。為什麼平常有想法，卻不來向老師提問呢？不用擔心被認為這太奇怪了，沒有這回事。你的疑問是經過非常認真的思考的，這是一個很重要的問題。

為什麼這個提問那麼重要呢？

好啦，快把耳朵湊過來慢慢傾聽老師的說明吧。首先呢，讓我們從再度思考何為除法這個問題出發。請看下面方框中的公式。

◆ 除法中“暗藏乘法”

所謂除法的計算，是“求某個數是其他數的幾倍的計算”。也就是說，我們可以認為最早先有了乘法。例如6÷2是在求“6是2的幾倍”。最開始有了“将2擴大3倍即得6”的概念。這樣一來，我們就能斷定除法和乘法是相對應起來的。

0的乘法算得的答案是......

下面讓我們來看看，用0作為除數的除法吧。

例如，“3÷0=？”即在計算“3是0的幾倍”。用乘法的算式表示出來就是“0×？=3”。

即，“0×？=3”→“3÷0=？”。

好啦，讓我們看一看這個算式，試着想一想“？”處究竟應該填入什麼樣的數字呢？0究竟該乘以什麼才能變成3？那樣的數字是不存在的。

是的，“3÷0”的答案是“不存在”。

下面還有一個問題，是有關用0來除以0的除法計算的。

“0÷0”，讓我們像之前一樣用乘法的算式來探究一番吧。

“（乘法算式）”→“0÷0=？”

“（乘法算式）”處應填入的是“0×？=0”。

那麼“？”處應填入一個最适合的數字吧？

0×0=0

0×1=0

0×2=0

0×3=0

…

…

…

能看出“？”處無論填什麼數字都能成立呢。

因此，

0÷0=0

0÷0=1

0÷0=2

0÷0=3

最後就變成了這個樣子。

這便意味着“0÷0”的答案有無數個。

“0不能作為除數”的真正原因

“6÷3”是“2”，正因為答案隻有唯一一個，它作為除法才有了意義。這并不僅限于除法當中，可以說所有的計算都是如此。

“3 5” “6-4” “8-3” 中不管哪一個的答案都隻有一個。然而“a÷0”的計算答案并不是唯一的。

這正是“0不能作為除數”的原因。

這種現象在數學中被稱為“無法定義的計算（演算）”，表示為下面方框中的内容。

◆ “a÷0”是無法被定義的！

對于“無法定義的計算”，可能至今為止我們都未曾聽過。這是理所當然的事，因為我們從小學開始學習的計算全都是能夠定義的計算。

我們在學習學習的數學中，都省略掉了下面這句話——“從現在開始大家所挑戰的計算，都是能夠被準确定義的。所以。隻有安心計算就行了喲。”

“用0作為除數的計算”是将這句話當中未提及的前提告知大家的絕佳方式。

因此，“為什麼0不能作為除數”這個問題是非常重要的。

文章來源 - 《超有趣的讓人睡不着的數學》

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