知道了“積分和微分是互逆運算”能給我們帶來什麼呢？答案是：多一種選擇。因為既然積分和微分是互逆運算，那麼有些操作如果積分不擅長，我就可以把它丢給微分。

什麼意思？還是以最開始求曲線圍成的面積為例。我們是這樣求抛物線y=x²與x軸在0到1之間圍成面積的：如果用n個矩形去逼近，每個矩形的底就是1/n，n個矩形的面積之和就是這樣：

當n趨向于無窮大的時候，後面兩項就等于無窮小，然後結果就隻剩下第一項1/3。

用這種方法，面對不同的曲線就得有不同的求和公式，最後還得保證相關項可以變成無窮小丢掉。所以，這種方法的複雜度和局限性都非常大，無法推廣。

但是，在偉大的牛頓和萊布尼茨發現了“積分和微分是互逆運算”之後，這一切就改變了。因為我們有另一種選擇：積分之路如果不好走，我們可以走微分啊。

怎麼走呢？前面講微分的時候，我們計算過f(x)=x²的導數，最終的結果是這樣的：

那麼反過來，如果我知道有一個函數是f(x)=2x，難道我就猜不出究竟是哪個函數求導之後變成了f(x)=2x麼？當然可以啊，我們完全可以根據f(x)=2x反推出原來的函數是f(x)=x² c。

為什麼這裡多了一個常數c？因為常數求導的結果都是0，所以就多了這樣一個尾巴。

也就是說，f(x)=x²，f(x)=x² 1，f(x)=x² 3等函數的導數都是f(x)=2x，隻憑f(x)=2x我們無法确定最開始函數具體是什麼樣子。但是，我們可以确定它一定就是x²加上一個常數c。于是，我們就把求導之前原來的函數f(x)=x² c稱為的f(x)=2x的原函數。

好，下面是關鍵：積分是函數圍成面積的過程，速度v通過積分就得到了位移s，在v-t圖像裡速度v圍成的面積就是位移s；微分是求導的過程，對位移s求一次導數就能夠得到速度v。

有了原函數以後，我們也可以根據速度v把（求導之後等于速度v的）位移s給求出來，這時候位移s就是速度v的原函數（無非就是再加一個常數c）。而原函數表示的位移s就是速度v圍成的面積，于是，原函數就有了求面積（積分）的效果。

也就是說，s求導一次就變成了v，那麼v反向求導一次就可以得到s，這時候s是v的原函數。另一方面，因為s求導一次能變成了v，那麼v積分一次也能變成了s（互逆運算）。于是，v通過求原函數和積分都能得到s，所以原函數s其實就有了積分（曲線v圍成面積）的效果。

再簡單地說，因為積分和微分是一對互逆運算，所以你反向微分（求原函數）的話，自然就“負負得正”，得到和積分一樣的效果了。

所以，現在求曲線f(x)=x²和x軸在0到1區間裡圍成面積這個原本屬于積分的事情，現在就可以通過反向微分（求原函數）來實現。

這是一次非常華麗的轉變，馬上你就會看到這種新方法會把問題簡化到什麼程度，而且，正是這種力量讓數學發生了根本性的改變。

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