詳細介紹求不定積分∫arctanxdx/(1 x)^3過程中用到的不定積分計算方法。
本題詳細步驟如下：A1=∫arctanxdx/(1 x)^3
=∫arctanxd(1 x)/(1 x)^3[①湊分法]
=(-1/2)∫arctanxd(1 x)^(-2)[②湊分法]
=(-1/2)arctanx/(1 x)^2 (1/2)∫(1 x)^(-2)darctanx[③分部積分法]
=(-1/2)arctanx/(1 x)^2 (1/2)∫dx/[(1 x^2)(1 x)^2]
設A2=(1/2)∫dx/[(1 x^2)(1 x)^2],
則：
A2=(1/4)∫[(x 2)/(1 x)^2-x/(x^2 1)]dx[④裂項分解法]
=(1/4)∫(x 1 1)dx/(x 1)^2-(1/4)∫xdx/(x^2 1)
=(1/4)∫dx/(x 1) (1/4)∫dx/(x 1)^2-(1/8)∫dx^2/(x^2 1)
=(1/4)ln|x 1| (1/4)∫dx/(x 1)^2-(1/8)ln(x^2 1)[⑤自然對數不定積分]
=(1/4)ln|x 1|-(1/4)/(x 1)-(1/8)ln(x^2 1) C.[⑥幂函數不定積分]
=(1/8)ln[(x 1)^2/(x^2 1)]-1/[4(x 1)] C.
即本題最終結果為：
A1=(-1/2)arctanx/(1 x)^2 A2
=(-1/2)arctanx/(1 x)^2 (1/8)ln[(x 1)^2/(x^2 1)]-1/[4(x 1)] C.
本題是一個求不定積分的綜合題目，從上述步驟看共用到了六種方法及公式。這也告訴我們，求不定積分的題目，一道題一般會使用多種方法得到不定積分的結果。
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