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兩異面直線間的距離怎麼求

生活更新时间:2025-02-23 18:42:47

已知正方體ABCD

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）1

的棱長為1，求異面直線與AC的距離。

一、直接利用定義求解

作出異面直線的公垂線段。

如圖1，取AD中點M，連

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）2

、MB分别交、AC于E、F，連，由平面幾何知識，易證

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）3

，

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）4

，

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）5

，則

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）6

。

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）7

由

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）8

，

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）9

得⊥平面

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）10

，則

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）11

，同理AC⊥，所以，EF⊥，EF⊥AC，即EF為異面直線與AC的距離，故有EF=

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）12

。

二、轉化為線面距離求解

将線線距離問題轉化為線面距離問題來解。

如圖2，連、

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）13

，則AC∥平面。設AC、BD交于O，、

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）14

交于

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）15

，連

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）16

，作OE⊥于E，由⊥平面

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）17

知

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）18

，故OE⊥平面。

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）19

所以OE為異面直線與AC的距離。

在

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）20

△

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）21

中，

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）22

，則

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）23

。

所以異面直線與AC的距離為。

三、轉化為面面距離求解

将線線距離問題轉化為面面距離問題來解。

如圖3，連

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）24

、

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）25

、、

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）26

、，易知平面

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）27

，則異面直線與AC的距離就是平面與平面

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）28

的距離，易證⊥

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）29

、⊥平面，且被平面和平面三等分，又

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）30

。

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）31

所以異面直線與AC的距離為。

四、構造函數求解

選取恰當的自變量構造函數，即可利用函數的最小值求得異面直線間的距離。

如圖4，在上任取一點E，作EM⊥AD于M，再作MF⊥AC于F，連EF，則∠EMF=

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）32

。

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）33

設MD=

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）34

，則ME=，AM

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）35

，在

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）36

中，∠FAM=

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）37

，則

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）38

所以

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）39

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）40

，

當且僅當

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）41

時，EF取最小值。

所以異面直線與AC的距離為。

五、利用體積變換求解

将異面直線的距離轉化為錐體的高，然後利用體積公式求之。

如圖5，連、

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）42

、

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）43

，則∥平面

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）44

，設異面直線與AC的距離為

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）45

，則D到平面的距離也為。

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）46

易知

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）47

，

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）48

。

由

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）49

，

得

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）50

。

所以

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）51

，則

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）52

。

所以異面直線與AC的距離為。

六、利用向量求解

如圖6，AB為異面直線

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）53

、

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）54

的公垂線段，

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）55

為直線AB的方向向量，E、F分别為直線、上的任意一點，則

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）56

。

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）57

證明：顯然

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）58

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）59

，

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）60

，

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）61

。

所以

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）62

，

所以

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）63

，

所以

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）64

，即

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）65

，

所以

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）66

。

把上述結論作為公式來用，即可巧妙地求出某些問題中的異面直線間的距離。

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）67

建立如圖7所示的空間直角坐标系，易知

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）68

，

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）69

=（-1，1，0），

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）70

（-1，0，0）。

設異面直線、AC的公垂線的方向向量為

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）71

，由

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）72

，

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）73

，得

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）74

解得

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）75

故可取

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）76

。

所以異面直線與AC的距離為

兩異面直線間的距離怎麼求（求異面直線的距離）77

。

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