高一同學在必修一中所要學習的最重要、最核心的知識就是就是函數。函數是高中數學裡非常重要的一部分，與之相關的基本初等函數、集合、三角函數、數列、不等式、導數等内容，在高考中所占的總分值相當高，基本上可以占到四五十分。

但是這幾年函數的命題有逐漸偏難的趨勢，早幾年函數的命題多是定義域、函數的性質，但是這幾年多是函數的圖像、函數與方程、分段函數等題目，難度相對較高。

高中的函數與初中所學習的函數相比，是有區别的。

初中的函數定義是這樣說的：

在一個變化過程中，随着一個變量x的變化，都有另一個變量y與之相對應。

這一定義強調的是變化過程，是運動的觀點。

因為變化隐含着時間這個量。

而高中的定義中，函數是兩個集合之間的對應關系：

對于兩個非空集合A與B，對于集合A中的任何一個元素x，按照某種确定的對應關系，在集合B中都有唯一的一個元素y與之相對應，這種對應關系叫做函數。

這一定義強調的是對應，是靜态的觀點。

隻在高中數學的範疇中談的話，這一定義的好處就是可以将函數分解成幾部分：定義域、值域、對應法則。

這三者也是經常命題的點。

比如求函數定義域，往往和指數不等式、對數不等式結合，本質是考察指數函數、對數函數這兩個函數的單調性。

說到這裡順便多提一點，當我們看到一道題目，你要能明白這道題目到底是考察什麼的，要在解題過程中不斷的轉換，最終轉化到最基本的知識。

比如一道含有對數函數或者二次式的定義域問題， 往往是轉化成不等式問題，而不等式問題往往轉化成單調性問題或者圖像問題。

傳統的值域問題現在考察的其實不太多了，不過最值問題目前是高考經常考察的題型，僅限于高一的話，這一類題目一般是和單調性、函數圖像結合的比較多。

我一般是建議學生們在做題的時候，學會利用圖像解題，這就涉及到需要能夠比較熟練的利用基本初等函數的圖像與函數圖像的變換，尤其是平移變換、對稱變換、翻折變換這三種，結合反比例函數、對數函數和指數函數這三種基本初等函數，一定要能夠熟練掌握。

對應法則的話，包含求解析式與分段函數。

求解析式主要是涉及到待定系數與換元兩種方法，或者說是兩種思路。

這兩種方法不僅是在函數中會用到，其他章節也會用到。

當然現在這一部分的考察重點是以分段函數為主，因為分段函數的特殊之處——在定義域的不同區間之上對應法則不同，非常适合考察學生對圖像、分類讨論思想、複合函數等内容的考察，而分段函數又會與函數的性質結合在一起。

分段函數的常見題型包括求值——求函數值、解方程；不等式——求最值、解不等式；函數與方程——函數零點、方程根的存在性與個數問題。

說到這裡就不能不提高中數學考試命題一個非常大的特點，因為高中的知識特别多，所以在考試中很少有隻考一個知識點的題目，一般都包含兩個以上的知識點，這是高中數學與初中數學的顯著差别之一。

所以在知識的廣度上一定要做到位，這是所謂基礎紮實的第一維度。

函數的三要素研究完之後，就是函數的表示方法，函數的表示方法主要是列表法、圖像法和解析式法，這三種方法裡着重需要研究的是圖像法和解析式法。

尤其是圖像法，很多同學是容易忽略掉的，我們可以認為圖像其實就是函數，所以圖像的某些特征一定對應着函數的某些性質，這是數形結合的根源。

而數形結合是解決函數問題最重要的思想。

學生們在學習函數的時候，一定要學會結合圖像，基本初等函數的圖像、函數性質的圖像特征——奇偶性、單調性、周期性、對稱性、函數圖像的各種變換。

這些都是需要掌握的。

結合圖像思考問題。

當把這些基礎性的預備知識學習完之後，我們要學習的就是函數的性質，即單調性、奇偶性、周期性這三個性質，這是高中數學和初中數學的一個顯著地區别。

單調性的本質可以看做是不等關系，即自變量的大小關系和函數值的大小關系是否一緻，所以單調性相關的題目都是不等關系，比如解不等式、比較大小、求最值等，單調性在之後還會再研究，即導數。

奇偶性其實是對稱性的一種特殊情況，所以要真正理解奇偶性可以從對稱性入手。奇偶性的本質是自變量互為相反數的時候函數值的正負。

周期性在必修一中主要是在三角函數中體現。

三角函數在高中與初中的區别首先就在于角的概念發生了變化，因此導緻角的範圍擴大，引入了終邊相同角的概念，這是周期性的源頭，因為終邊相通角的三角函數值是相同的。

在研究和解決三角函數的性質問題，都需要考慮周期性。

三角函數中還涉及到三角恒等變形，三角函數的公式比較多，死記硬背沒有價值，最好是理解推導過程。

必修一給我們提供了五種函數作為研究對象，供我們實踐之前學習過的内容，其中幂函數、二次函數是在初中基礎上的再研究，即用高中的相關知識重新研究這兩種函數的性質和特征。

指數函數和對數函數、三角函數，則是完全嶄新的函數，尤其是對數函數，所以我們在做題的時候，會發現基本初等函數裡，指數函數和對數函數出現的尤其多。三角函數是獨立一章，自然也很重要。

指數函數和對數函數這兩個函數本身的性質及其有限，無非是單調性、恒過點、漸近線，對數函數加一個定義域，其中很明顯以單調性為主要考察點。

所以我們在涉及到單調性，圖像變換，乃至之後導數的題目中，指數函數、對數函數，尤其是對數函數出現的是很多的。

函數和方程，這裡面有一個考點就是函數的零點問題。

這一問題在高考中是經常出現在選擇題最後幾題的，一般的思路是：

函數的零點問題轉化成方程根的問題，方程根的問題轉化成兩個函數的圖像交點問題。

總之，必修一中的函數，可以說是高中數學真正的基礎課，無論如何都要重視起來，如果要給一個建議的話，我還是老生常談：

數形結合。

以圖像為核心，組織知識，以數形結合思想，解決函數問題。

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