在正方形abcd中e是bd的中點-tft每日頭條

在正方形abcd中e是bd的中點

生活更新时间:2024-07-19 02:12:06

題：如圖，已知E是正方形ABCD外一點，滿足BE=BD，CE∥BD，BE交CD于F，

求證：DE=DF.

在正方形abcd中e是bd的中點（經典再現19正方形問題）1

分析：欲證DE=DF，設法證明∠DEF=∠DFE.

從已知出發，根據已知條件聯想到其相關的性質。

由四邊形ABCD是正方形，可得該四邊形四邊相等，四個角都是直角，對角線與邊的夾角為45°；

由BE=BD，可得∠BED=∠BDE；

由CE∥BD，可得∠BEC=∠DBE，∠DCE=∠BDC=45°.

經過探索，以上這些條件仍然不足以證明∠DEF=∠DFE.

考慮添加輔助線.注意到正方形對角線互相垂直評分且相等，為了利用這個性質，連接AC，交BD于點O（如圖2）.則

AC⊥BD，OC=BD/2.

因為CE∥BD，所以AC⊥CE，

從而有∠DOC=∠OCE=90°.

考慮到這兩個直角，再作EG⊥BD于G（如圖2），

則四邊形OCEG是矩形，

所以EG=OC=BD/2.

注意到直角三角形BGE中，

因為BE=BD，所以EG=BE/2，

所以∠EBG=30°.

這是個偉大的發現，發現了∠EBG為30°，接下來的問題就不成問題了.

在正方形abcd中e是bd的中點（經典再現19正方形問題）2

證明：連接AC，交BD于點O（如圖2）.則

AC⊥BD，OC=BD/2.

因為CE∥BD，所以AC⊥CE，

作EG⊥BD于G（如圖2），

則四邊形OCEG是矩形，

所以EG=OC=BD/2.

在直角ΔBGE中，

因為BE=BD，

所以EG=BE/2，

所以∠EBG=30°，

所以∠BDE=∠BED

=(180°-30°）/2=75°，

因為∠BDC=45°，

所以∠EDF=30°，

所以∠DFE=180°-30°-75°=75°，

所以∠DFE=∠DEF，

所以DE=DF.

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