之前對隐零點問題至少做過五次的解析，但内容較為分散，單篇内容更多是強調了隐零點用法中的一個問題，今天将隐零點問題從邏輯上到技巧上做一次最終版本的完整總結，關于隐零點問題可能也會是視頻課程中的首次内容。

一、什麼時候用隐零點來處理導數題目

隐零點是用導數判斷函數單調性和求最值常規方法的補充，而求最值和判斷單調性是所有導數大題共有的解題基礎，因此這部分内容是導數的基本功，如果嘗試在導數壓軸大題上争取更高的分數，則隐零點問題必須熟練掌握。

常規用導數求最值有以下三種層層遞進的方法：一是常規一階求導，此時要求導函數f'(x)必須能求出零點或者能直接判斷出導函數在給定區間内不變号(保号)，在這裡還需要熟練掌握常見的八種導數模型的單調性，最值以及圖像走勢；二是用二階導函數求最值，當一階導函數無法求零點且無法判斷正負時，需要對導函數再求導數(若一階導函數為分式形式，隻需對無法判斷正負的分子或分母求導數即可，若導函數為整式形式有時候也隻需部分求導即可，因題而定)，通過二階導數的符号(保号)來确定一階導函數的單調性，進而确定出在定義域内一階導函數是否是保号的，但值得留意的是并非一階導無法求根或判斷符号就必須采用二階導，此時可事先對f(x)的形式進行觀察變形，若f(x)中存在指數或對數，可遵循指數構乘除，對數構加減的原則來對原函數作預處理，常規二階導數的使用場景用下圖來說明：

以上圖f''(x)≥0在區間(m,n)上恒成立為例，此時f'(x)在(m,n)上單增，若對應的是case1和case2，則很容易看出在給定區間内f'(x)保号，f(x)具有明确的單調性，在定義域的兩端點取得對應的最值；若對應的是case3這種情況，f'(x)單增且存在一個零點，那麼f(x)的增減趨勢為先減後增，在圖示x=x0處取得極小值。

以上三種求最值的方法層層遞進，隐零點其實是二階導的補充，因為高三數學中導函數常常以初等函數運算的形式出現的超越函數，因此隐零點的使用場景還是很多的。

二、隐零點問題中的三個關鍵處理環節

環節1.隐零點存在的證明。

這裡又分為兩種情況，第一種若可參變分離，此時右側函數中不含參數，若f'(x)單增，隻需帶入特定的數字來判斷隐零點的存在即可，這種題目是最簡單的，第二種若函數不可參變分離，則對函數整體進行單調性讨論的時候證明單增導函數存在零點時就需要用到特定的選點法了，有時可通過經驗選擇特定的點帶入可直接判斷出導函數的正負，但更多是需要采用和零點證明中一樣的放縮取點法了，而這種方法實際運用起來很注重技巧，之前在導數放縮中給出過相關的技巧展示，後續會以專門的篇幅來給以說明。

環節2.對最值f(x0)的化簡。

注意為什麼把化簡放到了第二位而把隐零點範圍的确定放到了第三位，是因為對隐零點所在範圍的重新确定需要根據f(x0)化簡之後的形式來進一步确定，在用f'(x0)=0對f(x0)進行化簡時，化簡結果一般是一個可以直接觀察單調性和求最值的簡潔式子，例如常數，一次函數，二次函數，反比例函數，飄帶函數等等，若化簡之後依舊是一個具有一定複雜度的表達式，則極有可能說明化簡不完善不徹底。

若f(x0)中存在指數或對數或者同時存在，那麼f'(x0)依舊含有指數或對數，此時的化簡原則是消除f(x0)其中的指數和對數，這就需要對f'(x0)=0進行取對數或者取指數來替代f(x0)中的指數或對數，最終的結果也是為了将最值轉化為一個簡潔可直接判斷單調性和範圍的式子，對于對最值的化簡，以下面兩題為例：

上述兩個題目是典型的取對數或取指數對最值進行化簡的題型，也是之前發過的題目，掌握其中化簡原則和方法即可。

環節3.隐零點所在範圍的選取。

以可參變分離後的函數求最值為例，在環節1中帶入特定的數字驗證隐零點x=x0的大緻範圍，通常選擇的都是相鄰的整數點，例x0∈(1,2)，至于判斷x0區間的恰當與否需要看化簡之後的最值f(x0)在這個區間内的值域的上界和下界的差是否在1之内且是否包含整數，例如k≥f(x)在給定區間内恒成立，若x0∈(1,2),此時最大值f(x0)∈(4,5)，那麼x0的取值就是恰當的，若k取整數，則k≥5;若f(x0)∈(4,5.1)，此時k的最小正整數可取5或者6,則x0的取值就不恰當,需要對x0的範圍進一步縮小，因此在用隐零點求最值時，對于環節2中的選點範圍先不用着急寫，可先對最值進行化簡，在草稿紙上對最值的範圍作一下初步判定即可，否則答題卡上不會給你預留改正的空白區域了。

環節4.隐零點所在區間的進一步确定。

有三種重新确定隐零點範圍的方法，第一種是二分法，若x0∈(1,2)選取不合适，可判斷f'(3/2)的正負重新确定在以0.5為分度值x0的區間，這也是較為基礎的方法，但依舊不能保證選點的精确性；第二是根據題目後面給出的參考數據重新選點，例如ln2,ln2.5,ln3的參考值，通常這種提示就可以大緻确定出隐零點的準确範圍；第三種是較為變态的一種，既不能用二分法也沒有對應的參考數據，此時可知直接從f(x0)的範圍入手反推x0的範圍，在之前的推送中給出過原理解析，例如f(x0)∈(4,5.1)，此時k≥f(x)恒成立時整數k的最小值可取5或6，原因是f(x0)中存在整數5，則可直接令化簡之後的f(x)=5，解出對應的x1，再判斷單增f'(x)在x=x1時的正負，若f'(x1)>0,則x0∈(4,x1)，若f'(x1)<0，則x0∈(x1,5.1)，此時對應的f(x0)一定是滿足值域的上界和下界的差在1之内且是不包含整數的，以下面一題為例：

三、隐零點問題常見題型

第一類：無參函數證明題

這類題目用放縮證明更加便捷，若常規設函數求最值中的隐零點法，因為x0的具體範圍不能确定，因此導緻對應最值f(x0)的正負也不能确定，若題目所要證明的最值有具體的上下界，那麼可直接令f(x0)等于上下界，反推出對應x0的精确範圍x1,x2，但這種反推的過程需要在草稿紙上進行，如下面兩題：

例4有上下界，例5隻有下界，隻需利用下界0反推出對應的x0的範圍即可，并沒有什麼實質性的區别。

第二類：恒成立求參數問題

這裡又根據是否标定參數取值類型分為常規題型和一般題型，常規題型不再贅述，隻需确定出合适的x0的範圍即可，若題目中并沒有給出參數的取值類型，那麼題目通常是不可分參的，即便分參求得的參數範圍也不準确，此時要根據恒成立嚴格确定出x0的準确範圍，具體操作為：

化簡之後的最值f(x0)和f'(x0)=0中都包含參數k和x0，用f'(x0)=0确定出k=g(x0)的等價關系後帶入f(x0)，此時f(x0)中不含參，利用恒成立f(x0)≥0解出x0的範圍後，利用k=g(x0)求出參數的範圍。

第三類：與參數範圍有關的其他題型

這種沒有統一的題型類别，主要是用參數和x0的等價關系來互相轉化，例如已知參數範圍反推x0的範圍，或者用x0的範圍反推參數的範圍，算是第二種題型的補充形式，以一題為例。

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