艾薩克·牛頓的天賦在科學史上是少有的。他的代表作《自然哲學的數學原理》被認為是曆史上最重要的科學著作之一。印度著名物理學家、1983年諾貝爾物理學獎得主之一蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡（Subrahmanyan Chandrasekhar）在《莎士比亞，牛頓和貝多芬》一文中寫道：

隻有當我們真正地了解牛頓的天賦時，我們才會發現，人們拿牛頓和科學界其他人士作比較是完全不合适的。

• 圖1:烏爾索普莊園，艾薩克·牛頓的出生地

開普勒定律

1609年至1619年間，德國天文學家、數學家約翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）發表了他的行星運動三定律，描述了行星圍繞太陽運行的軌道。

• 圖2：約翰尼斯·開普勒

開普勒行星運動三大定律是：

第一定律：行星的軌道是一個以太陽為兩個焦點之一的橢圓。

• 圖3：根據開普勒第一定律，行星的軌道是以太陽為兩個焦點之一的橢圓

第二定律：将行星和太陽連接起來的一條線段在相等的時間間隔内掃過相等的面積。下面的動畫演示了滿足開普勒第二定律的行星運動。在相等的時間間隔内，掃過的面積（藍色區域）相等。紫色箭頭（指向橢圓的焦點之一）是加速度。另一個箭頭是速度（加速度的分量也顯示了）。

• 圖4：第二定律的演示。

第三定律：行星軌道周期的平方與其軌道的長半軸長度的立方成正比（見圖11）。

哈雷訪問牛頓

在皇家學會的一次會議後，克裡斯托弗·雷恩（著名的英國建築師，同時也是天文學家，數學家和物理學家），羅伯特·胡克和埃德蒙·哈雷（英國天文學家，數學家和物理學家）在一家咖啡館讨論，如何證明行星的橢圓軌道是平方反比定律的結果（根據該定律，作用于行星的引力與它們到太陽的距離的平方成反比）。哈雷随後訪問劍橋，與牛頓讨論這個問題。法國數學家亞伯拉罕·德·莫夫（Abraham de Moivre）後來描述了他們的會面：

1684年哈雷博士到劍橋看望他。他們在一起待了一段時間後，博士問他，如果行星對太陽的引力是與它們到太陽距離的平方成反比的話，他認為行星所描述的曲線會是怎樣的。艾薩克爵士立即回答說，那将是一個橢圓。博士又驚又喜地問他是怎麼知道的。牛頓說，“我已經計算過了。”于是，哈雷博士立即向他要了他的計算結果……

• 圖5：從左到右依次為艾薩克牛頓，克裡斯托弗·雷恩，埃德蒙·哈雷和羅伯特·胡克。

牛頓的傳記作者蓋爾·愛德華·克裡斯蒂安森在他的《艾薩克·牛頓》一書中描述了哈雷來訪後發生的事情：

在1684年11月……在哈雷、胡克和雷恩開始探索讨論之後的11個月後，一本“論運動（De Motu）”的抄本送到了哈雷的家門口……他大吃一驚，因為在他的手中的是一門動力學的數學種子……起初，牛頓……把“論運動”本身視為一個目标。但是，一旦他的創造力被釋放出來，其勢頭就無法抑制。“既然我已經談到這個問題了，”他寫道……“我很願意在發表論文之前弄清真相……”論運動将成為他的傑作、有史以來最偉大的科學著作的雛形。就這樣開始了科學史上最緊張的十八個月的工作。1686年4月，牛頓發表了……他的傑出著作的前三分之一。他将其命名為自然哲學的數學原理…

下圖顯示了牛頓證明的摘要：

• 開普勒第二定律（見上文）。

• 平方反比定律，根據這個理論，作用在一個圍繞太陽以橢圓軌道運行的行星上的引力與1/r^2成正比，并且指向橢圓的焦點之一。

• 圖6：左邊是《原理》第一版的标題頁。中間是牛頓證明開普勒行星運動第二定律的摘錄。右邊是牛頓證明平方反比定律的摘錄。

為了直觀地展示牛頓證明開普勒行星運動第二定律所采取的方法，下面的動畫非常有用。

• 圖7：展示牛頓在《原理》中證明開普勒行星運動第二定律所采取的方法的動畫

平方反比定律的一個現代證明

考慮太陽對行星的有心力（連心力）。有心力是一個力F，它的方向是将物體和力的固定原點O相連的直線。本文的目的是确定受這種力作用的物體的運動（與哈雷提出的問題相反，但牛頓也解決了這個問題）。

• 圖8：作用在p處的物體上的連心力F指向一個固定點O。變量r和θ稱為極坐标

平面上的簡單運動學

極坐标(r， θ)與笛卡兒坐标(x, y)的關系如下：

• 式1：極坐标。

x，y，r，θ方向上的單位向量如下圖所示。

• 圖9：直角坐标和極坐标下的單位向量。

它們之間的關系是：

• 式2：單位向量之間的關系。

位置矢量等于：

• 式3：位置矢量r

将式3對時間微分兩次，經過一些簡單的代數運算，我們得到了極坐标表示的加速度矢量：

• 式4：極坐标下的加速度矢量。

天體軌道的時間演化

我們可以很容易地看出，受連心力作用的物體的角動量是恒定的：

• 式5：物體受連心力作用的角動量是恒定的。

由于L是常數，位置矢量和速度矢量x和v總是在一個固定的平面上（與L正交），這大大降低了問題的複雜性。方程式4，加上牛頓第二運動定律F = ma，給出了我們想要的運動方程：

• 式6：受中心力作用的物體的運動方程。

如果我們把角動量寫成：

• 式7：平面角動量。

對t求導，用式5得到式6的第二行。對式5積分得到：

• 式8：恒角動量（取決于初始條件）。

常數L取決于初始條件。對式6第一行積分，利用式7或式8，得到：

• 式9：對式6的第一行積分，我們得到能量，另一個依賴于初始條件的常數。

總能量E是另一個依賴于初始條件的常數。求解方程8和方程9，然後積分，得到r(t)和θ(t)方程：

• 式10

注意，在式10中有四個依賴于初始條件的常數，即E，L，r和θ_0。

求軌迹

求方程10中兩個方程的r(t)和θ(t)的精确解通常是相當棘手的。更直接的方法是計算物體的運動軌迹，即r(θ)。

首先，考慮方程6和方程8，将包含L的項轉置到方程6的右邊。我們得到：

• 式11:有效勢的定義。

我們定義了一個有效勢。因此，對于r來說，這個二維問題變成了一維問題，因為dθ/dt可以通過方程8消去。

定義一個新的輔助變量u=1/r，并将其代入方程11，經過一些代數運算，我們得到：

• 式12：輔助變量u的微分方程。

由于我們對作用在物體上的引力特别感興趣，F變成：

• 式13：牛頓引力。

将方程13代入方程12求解，得到一個二次曲線的方程，即：

• 式14：引力連心力方程13的解，u=1/r。

從方程12到方程14，我們解了齊次方程，找到了一個特解，然後把它們放在一起。

• 圖10：圓錐截面類型：分别是抛物線、圓和雙曲線。

在方程14中：

• r =0是二次曲線的焦點
• θ_0是軌道在包含曲線的平面上的方向。
• A是一個常數。因為θ_0是任意的，所以我們可以選擇A為正。

我們對橢圓軌迹特别感興趣。在式14中，它有兩個轉折點，分别為θ_0=0和θ_0=π。由方程9和方程11可知，當有效勢等于總能量E時，轉折點就出現了。因此，求解方程11使有效勢等于E，我們得到兩個方程（每個轉折點一個），用E和L表示。将這些方程與θ_0=0和θ_0=π的方程14進行比較，我們得到了A的值：

• 式15：式14中A的值。

由解析幾何可知，極坐标下的橢圓方程為：

• 式16：極坐标下的橢圓方程。

其中ε為離心率（橢圓的ε值大于零但小于1）。

• 圖11：橢圓的幾何參數

将橢圓的式14改寫為：

• 式17

橢圓滿足的兩個重要關系是：

• 式18：ε和a，用A和B表示。

比較方程14和17，我們得到了用角動量L表示的B：

• 式19

由ε=A/B，我們得到：

• 式20：橢圓的離心率用運動常數表示。

我們最終得到橢圓方程，接着是一個物體繞另一個位于橢圓焦點上的物體運行。它由下式給出：

• 式21：一個物體圍繞另一個位于橢圓焦點之一的物體運行的軌迹。

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