區間套定理是實數完備性的六大基本原理之一，它告訴我們，區間套裡都藏着一隻“幽靈”，這是怎麼回事呢？老黃就在這裡就要好好地跟你掰一掰這個問題，并嘗試捕捉這隻幽靈。本文由兩部分組成。前半部分是對區間套定理的證明，是完全符合目前的數學理論的。後半部分嘗試解析區間套内這隻“幽靈”的實質，你可以看作是老黃在胡掰瞎扯，但老黃還是希望能引起你的共鳴。

區間套定理的内容是這樣的：

若{[an,bn]}是一個區間套，則在實數系中存在唯一的一點ξ，使得ξ∈[an,bn], n=1,2,…, 即an≤ξ≤bn, n=1,2,….

用老黃的話說，就是區間套中有一隻，且隻有一隻幽靈ξ。它包含于區間套中的任一個區間，即為所有區間的交集。老黃先證明這個定理：

證：由a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1知:【這是區間套定義的第一個條件】

{an}遞增有界，∴{an}有極限ξ，且an≤ξ，n=1,2,….【這是單調有界定理的應用，單調有界的數列必存在極限，且極限是數列的一個界(單調增為上界或單調減為下界)，不要以為這裡就抓住ξ這隻幽靈了，如果這麼容易抓住，它就不叫幽靈了，你隻是抓住了它的一個分身而已】

{bn}遞減有界，∴{bn}有極限，【還是單調有界定理的應用，但你這裡不能直接記{bn}的極限等于ξ，而是需要證明的】

又lim( n→∞) (bn-an)=0，∴lim(n→∞)bn=(lim)( n→∞) an=ξ，【結合了區間套定義的第二個條件，這就證明了{bn}的極限也是ξ。但是别忘了，an<bn，由極限的保不等式性，兩個數列的極限是否相等，是存疑的，可以認為{bn}的極限也是這隻幽靈的另一個分身，所以你就算前後夾攻，終究還是抓不住這隻幽靈，要不然怎麼稱它為幽靈呢。這裡肯定還有很多人不認同老黃的說法，畢竟，兩個數列的極限的确是可能也可以相等的。但不要急，最後老黃還會繼續深入分析】

且ξ≤bn，n=1,2,…，即an≤ξ≤bn, n=1,2,….【這就證明了克西的存在，接下來證明它的唯一性】

設數ξ’∈[an,bn], n=1,2,…，則|ξ-ξ’|≤bn-an, n=1,2,…，則

|ξ-ξ’|≤lim( n→∞) (bn-an)=0，∴ξ’=ξ. 原命題得證.

這個定理乍看沒有什麼，但細思極恐。這個ξ可不是一個一般的實數，它其實是一隻幽靈，是一個幽靈實數。這可不是老黃故弄玄虛，你聽老黃細細給你道來。你想想啊，一個實數，怎麼可能同時大于或等于一個數列的各項，又小于或等于另一個數列的各項呢？在宏觀的世界裡還是可以理解的，因為大于等于和小于等于可以理解為大于或等于，和小于或等于。但在微觀世界裡，其實并不好理解。

原來啊！當{an}是一個常數列時，ξ就有可能大于或等于an，可以說是ξ附身到an上了。同理，當{bn}是一個常數列時，ξ又附身在bn上，因此克西可以小于或等于bn. 因為an, bn不可能同時為常數列，所以這兩點并不沖突。

因此ξ等于an，就不能等于bn，ξ等于bn，就不能等于an。事實上真的如此嗎？

當兩個數列都不是常數列時，ξ豈不就即不等于an，又不等于bn了嗎？那麼克西哪去了呢？

事實上，當n趨于無窮時，ξ依然可能附身在an上，也可能附身在bn上。當然，它仍有可能既不附在an上，也不附在bn上。如果ξ附在其中一方的身上，那麼[an,bn]上，就隻有兩個元素。若ξ不附在任何一方的身上，那麼[an,bn]上，就隻有三個元素。

不論是兩個元素，還是三個元素，都是和實數的稠密性矛盾的。最後一種解釋就是，區間套最中心的區間的兩個端點都是ξ，即，它同時附身在an和bn上。且左端點的ξ小于右端點的ξ，這樣它才能形成一個閉區間。試想想，那不就成了ξ本身就是一個閉區間了嗎？

事實上，由于非常數列極限的不确定性，雖然{an}和{bn}的極限都等于ξ。但是兩個克西之中，至少有一個是不确定的。兩個不确定的ξ不相等；一個确定的ξ和一個不确定的ξ也不相等。因此老黃一直說是ξ附身上an上，或bn上，卻不說ξ等于an或bn，就是因為它們其實并不相等。

所謂ξ是兩個數列相同的極限，隻不過是ξ給我們的假象罷了。隻是我們凡體肉胎，看不明白罷了。你覺得呢？