上一期内容講的“等腰三角形存在性”在多個題型中出現，但是用了一種方法解決，也就是說隻要出現“等腰三角形存在性”我們就可以利用我們總解的方法進行解決。我們今天來看看“等腰三角形存在性”問題與四邊形之間的聯系。

兩個全等等腰三角形底邊重合

我們通過這個圖形不難發現一個内容：

菱形轉化等腰三角形：連接對角線可以轉為兩個全等的等腰三角形且底邊重合

等腰三角形轉化菱形：過兩個底角的頂點向對邊作平行線構成四邊形為菱形

如何轉化的呢？我們來看兩道中考的真題，如何運用我們上期内容去解決“菱形存在性”

第一問解析

我們依然還是從問題入手來分析如何解決問題

通過問的分析，我們發現欲求抛物線解析式，我們可以通過兩種方法進行解決，最終選擇哪種方法或者兩種方法都可以，當兩種方法都可以時候，我們根據跟人喜好來選擇就好了。至于選擇那種方法需要我們對已知條件的分析，引導我們用什麼樣的方法。

通過已知條件我們可以得出：A,B,C三點坐标，所以兩大類方法都可以求出解析式。

這種方法，也有兩種情況出現，很多學生用得最多的是列二元一次方程組的方法，很少會利用交點式進行求解，但是最快的辦法其實是交點式運算量小，算錯率降低很少。

最終我們發現，解析式中有幾個待定的系數，我們就需要幾個點來求解析式。

第二問解析

通過讀題，第二問讓我們求四邊形面積，那麼我們就要思考求四邊形面積，有多少種情況求得呢？

大猩猩老師通過例題地問，來給大家總結一下

四邊形問題，我們分為規則圖形和非規則圖形，規則圖形我們都可以利用公式直接求買諾記即可。出現問題基本都是關于非規則圖形如何求面積問題；

補形的方法：

圖1可以補成一個矩形，一般應用于平面直角坐标系中，

圖2也是應用頻率比較高的一種補形方法，利用兩個規則的三角形相減求的面積問題，一般應用重疊性面積問題時候，求重疊面積時候應用比較多。

分割方法：

圖1是連接對角線構造兩個同底的三角形進行求面積根據已知面積進行構造

圖2是圖1的一種變形，特殊的角，然後構造三垂直然後連接BD對角線求解。

非規則的四邊形中還有一類四邊形也是比較特殊的，就是關于對角線的特殊位置來求面積

對角線垂直型

對角線過另一個對角線中點型

這兩個圖形是對角線特殊位置情況求面積的想法。求四邊形面積的思維模式也就是這幾種。希望大家可以靈活掌握。

通過上面總結的内容我們來看本題我們需要利用哪種方法進行解決問題。我們就圖形來進行分析

圖1我們可以分成兩個三角形連接對角線PB，然後分别求兩個三角形面積

圖2我們可以利用兩個直角三角形相減求四邊形面積

至于選擇哪一種方法，我們還給通過已知條件來選擇，那麼我們來看看兩種方法最終我們需要求出來什麼内容即可解決問題，我們來将兩種方法的面積表示出來。看看需要求什麼可以解決問題。

通過對兩種方法總結歸納，最終我們發現無論那種方法，我們都需要求出“P”的坐标就都可以搞定，那麼就涉及到求點坐标

通過上面兩種方法，我們都是集中再求點P的坐标，求坐标方法很多，因為很明顯我們可以利用“線段數量關系建立坐标方程”

通過分析，我們整個重點就是求BC解析式然後建立方程

具體步驟

分割方法

補形方法

第三問解析

通過讀題，這個是求菱形存在性問題，而且涉及動點和定點，通過開始思考題，來選擇三個頂點構造等腰三角形然後再找第四個點即可構成菱形

依然從問入手，求N坐标，但是平面一點，所以我們需要知道限制條件就是B,D,M,N為菱形

如何選擇三個頂點構成等腰三角形情況呢？下面來介紹一下選擇的基本原則

選擇定點及限制條件多的點構成“等腰三角形”

找到等腰三角形，但是跟我們求N點坐标有什麼關系，我們将等腰三角形情況畫出來然後再把菱形存在性畫出來。在看求N坐标跟什麼有關系或者選擇什麼辦法。

通過分類讨論，三種情況，但是BD=BM這種情況，M在直線BC上，所以需要有兩種情況。依照這四種情況進行畫出菱形存在情況，如下圖所示四種情況

通過這四個圖，我們會發現N的坐标與M點坐标有很大聯系，如何聯系的？如下

這種“平移”的方法求坐标的方法也是在菱形存在性問題當中的“特色”

通過上面的分析，我們隻需求出“M”的坐标即可，最終歸結求點M的坐标問題，那麼我們來看看如何求點M坐标，點M在BC直線上，所以我們隻需知道點M橫坐标或者縱坐标即可求出點M的坐标。所以我們隻需點M作兩軸垂線即可。隻需構造直角三角形利用解直角三角形來求得點M的橫坐标或者縱坐标如下

求M坐标的分析

所以隻需求出BM的長即可求出點M坐标

求BM如何求呢？

因為是等腰三角形存在性求一個邊長，所以我們可以利用“公式”上兩期總結的公式總結求解如下

具體步驟

• 求解析式可以利用多種思維，最終就是确定幾個待定系數，我們就需要幾個點求解
• 求四邊形面積方法，先分兩大類，然後再分别利用相應方法進行求解。靈活運用。
• 求菱形存在性問題，我們可以轉化成等腰三角形存在性問題，進而求出幾種情況出現，然後通過圖形我們來找到關于那個點有關聯，而且通常利用的方法平移的方法進行求解相對簡單。
• 這個菱形存在性問題屬于“兩定點兩動點”問題，在确定等腰三角形時候，我們可以利用“兩圓一中垂”确定等腰三角形存在性，因為這裡面容易忽略的就是點M在x軸的上方和下方兩種情況，所以我們需要進一步了解等腰三角形存在性兩個定點的問題，可以利用尺規作圖進行确定可能性，然後利用“總結方法”求線段長，然後求出坐标

菱形即是等腰，等腰記牢通法，以不變應萬變；

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