今天的文章聊聊高等數學當中的極限，我們跳過極限定義以及一些常用極限計算的部分。我想對于一些比較常用的函數以及數列的極限，大家應該都非常熟悉。

大部分比較簡單的函數或者數列，我們可以很直觀地看出來它們的極限。比如1/n，當n趨向于無窮大的時候，1/n 的極限是0，再比如當n趨向于無窮大的時候，n的平方的極限也是無窮大，等等。

但是對于一些相對比較複雜的函數，我們一時之間可能很難直觀地看出極限，因此需要比較方便計算極限的方法，今天的文章介紹的正是這樣的方法——夾逼法和換元法。

夾逼法在數學領域其實非常常用，在中學的競賽當中經常出現。夾逼法的原理非常簡單：

對于某一個函數f(x)，我們知道它的表達式，但是很難确定它的範圍。我們可以先找到另外兩個範圍比較容易确定的函數g(x)和h(x)，然後證明:

通過h(x)和g(x)的範圍來夾逼f(x)的範圍。

說白了，就是直接求解不方便的函數，我們通過用其他容易計算的函數來替代的方法來間接求解，類似于“曲線救國”。

明白了夾逼法的概念之後，我們再來看一下它在數列極限當中的應用。

假設當下存在數列 {xn} 我們需要确定它的極限，我們找到了另外兩個數列 {yn} 和 {zn}。如果它們滿足以下兩個條件：

那麼，數列 {xn} 的極限存在，并且:

從直覺上來看，上面的式子應該非常直觀，但是我們還是試着從數學的角度來證明一下，順便回顧一下極限的定義。

證明過程如下：

根據極限的定義，對于數列 {xn} 而言，對于任意ϵ都存在 n0 > 0，使得對于任意：n > n0，都有:

那麼就稱數列 {xn} 的極限是a。

由于數列 {yn} 的極限是a，所以存在 n1 使得 n > n1 時:

同理，存在 n2 使得 n > n2時:

那麼對于 n > max(n1, n2) 顯然應該有：

并且

我們将絕對值展開，可以得到：

根據極限的定義，顯然可以得到數列 {xn} 的極限也是a。

我們利用這個方法來看一個書上的例子：

我們都知道當x趨向于0的時候，x和sinx都趨向于0，但是 sinx/x 的極限是多少呢？如果猜測一下，兩個無窮趨向于0的極限的比值應該是1才對，但是這個隻是我們的直觀猜測，想要嚴格證明，還需要使用數學方法。

這個證明就用到了我們剛才說的夾逼法，并且非常巧妙，讓我們來看一張下面這張圖。

我們假設夾角∠AOB=x，這裡采用弧度制。我們令圓心OB的長度等于1，那麼BC=sinx，OC=cosx，AD=tanx。我們下面要用這張圖裡的三角形面積關系，顯然：

三角形AOB的面積等于 1/2 * OA * BC = 1/2 sinx，三角形AOD的面積等于 1/2 * OA * AD = 1/2 tanx。

這兩個都很容易得出，直接套用三角形面積公式即可。扇形的面積看起來麻煩一些，但其實也很簡單，在幾何當中，扇形可以看成是特殊的三角形。我們把弧長看成是底面，半徑可以看成是高，那麼扇形的面積等于 1/2*弧長*半徑 。所以扇形AOB的面積等于 1/2 * x * 1 = x/2 。

我們列出來，可以得到：

即：

其中

所以我們可以不等号兩邊同時除以sinx，得到：

由于當x趨向于0的時候sinx, cosx都大于0，所以我們可以對不等式互換分子分母，得到：

到這裡已經結束了，因為我們根據餘弦的函數圖像可以很容易看出來，當x趨向于0的時候，cosx趨向于1.但為了嚴謹起見，我們當做不知道這點，繼續用數學的方法證明：

我們來計算當x趨向于0的時候，1−cosx的取值範圍，當x趨向于0的時候cosx<1，所以1−cosx>0。我們再對1−cosx變形，這裡要引入三角函數當中的和差化積公式：

由于cos0=1，帶入和差化積可以得到：

我們之前通過面積表示的方法已經證明了當x趨向于0的時候sinx<x，所以

當x趨向于0的時候，顯然x^2也趨向于0，所以我們可以證明 cosx 的極限是1。

我們接着來看換元法，在書裡被稱為複合函數的極限運算法則。假設我們有y=f[g(x)]，我們令u=g(x)。如果

并且

并且在x趨向于x0時，有g(x)≠u0，那麼：

我們使用極限的定義同樣可以很方便地證明它的正确性，這裡就不證明了，感興趣的同學可以試着證明一下。

了解了符合函數的極限運算法則之後，我們再來看一個例子鞏固一下。

和上面的例子類似，我們這次求一下:

和上面那題一樣，我們先使用和差化積對極限的分子進行變換，可以得到：

如果通過極限本身的定義來計算這個式子還是蠻複雜的，很難直觀地獲得答案。這個時候就需要用上換元法了，那麼這個極限就可以轉化成複合函數極限了。我們令 u = x/2 ，f(u) = sinu/u。因為當x趨向于0的時候，u也趨向于0，當u趨向于0的時候，f(u) 趨向于1，所以最終的極限就是1。

通過夾逼法和換元法，我們可以很方便地求解一些看起來比較棘手的極限。這也是我們求極限的過程當中使用非常頻繁的方法。雖然上文當中的公式看起來有些比較麻煩，但是方法本身并不難，隻要沉下心來，一定可以看明白的。

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參考資料

同濟大學《高等數學》第六版

程序員的數學

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