圓的基本性質

圓的概念

例題

連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫做直徑。圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A，B為端點的弧記作⌒AB，讀作“圓弧AB”或“弧 AB”，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優弧(用三個點表示）；小于半圓的弧叫做劣弧(用兩點表示)。

能夠重合的兩個圓叫做等圓。半徑相等的兩個圓是等圓；同圓或等圓的半徑相等，在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

垂徑定理 ：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

頂點在圓心的角叫做圓心角。

定理: 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那麼它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那麼它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

圓周角

圓周角定理

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

同弧或等弧所對的圓周角相等。

半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

例題

如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓内接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。

圓内接四邊形中角之間的關系

利用圓周角定理得出内接四邊形的一個性質: 圓内接四邊形的對角互補。

點、直線與圓的位置關系

點與圓的位置關系

點與圓的位置關系

一點或者兩點都不能确定一個圓

不在同一直線的三點确定一個圓

不在同一條直線上的三個點确定一個圓。

假設命題的結論不成立(即假設經過同一條直線上的三個點可以作一個圓)，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正确，從而得到原命題成立的方法叫做反證法。

經過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

直線與圓的位置關系

直線與圓的位置關系

直線和圓有兩個公共點，即直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線；直線和圓隻有一個公共點，即直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，公共點叫做切點；直線和圓沒有公共點，即直線和圓相離。

直線l和⊙O相交↔d<r ; 直線l和⊙O相切↔d=r ；直線l和⊙O相離↔d>r。

切線的判定正理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。(圓的切線垂直于過切點的半徑)

生活中的圓與切線

經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長叫做這點到圓的切線長。

圓外一點所作的兩條切線的關系

切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的内切圓，内切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的内心。

内切圓例題

圓與圓的位置關系

圓與圓的位置關系

1. 兩個圓沒有公共點: 相離，圖(1)叫做外離，圖(5)(6)叫做内含，(6)中兩圓的圓心相同是兩圓内含的一種特殊情況。

2. 兩個圓隻有一個公共點: 相切，如圖(2)叫做外切，圖(4)叫做内切。

3. 兩個圓有兩個公共點: 相交，如圖(3)所示。

圓與正多邊形

圓周率π

公元前3世紀，古希臘數學家阿基米德通過圓内接和外切正多邊形逼近圓周的方法得到圓周率介于 3(10/71）和 3(1/7）之間。我國魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”，利用圓的内接正多邊形來确定圓周率，并指出在圓的内接正多邊形加倍的過程中“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”。他計算出π≈157/50≈3.14。南朝的祖沖之又進一步求得π的值在3.141 592 6和3.141 592 7之間，是第一個将圓周率的計算精确到小數點後7位的人。

弧長和扇形面積

弧長

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形。

扇形的面積

圓錐的側面積與全面積

圓知識的複習

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