中學正負數乘除綜合運算?中學生課外讀物《數的産生與發展》（整數乘除），我來為大家科普一下關于中學正負數乘除綜合運算?以下内容希望對你有幫助!

中學正負數乘除綜合運算

中學生課外讀物《數的産生與發展》（整數乘除）

彭彤彬

4.整數的乘法

和和整數的加減一樣，整數乘法比自然數乘法多了幾種情況：

自然數與負整數相乘，負整數與負整數相乘。

下面分别叙述。

由前知：

自然數a與自然數b相乘就是

ab＝b個a相加＝a＋a＋…＋a

或ab＝a個b之和＝b＋b＋…＋b。

其中0×0＝0，0×a＝a×0＝0，1×1＝1，1×a＝a×1＝a。

若是自然數與負整數相乘，我們先看實際意義：

電梯連續下降4次，每次下降3米，問電梯共上升了多少米？

（-3）＋（-3）＋（-3）＋（-3）

＝（-3）×4

＝-12＝-（3×4）。

即電梯總共上升了-12米，實際上下降了12米。

電梯連續下降3次，每次下降4米，問電梯共上升了多少米？

（-4）＋（-4）＋（-4）

＝（-4）×3

＝-12＝-（4×3）。

即電梯總共上升了-12米，實際上下降了12米。

若我手中沒錢了，便向某人每次借100元錢，連續借了6次，問我擁有多少錢？

（-100）×6＝-600＝-（100×6）

若向某人借了0次100元，相當于沒借，所以（-100）×0＝0。

結合上述實際意義，并為了保證整數乘法滿足交換律，我們由此一般化規定：

a∈N，b∈N時（-a）×b＝（-b）×a＝-（ab）。

可以知道，一個正整數與一個負整數相乘，其積為一個負數，即先寫-号，再寫上兩乘數絕對值的積。

用式子表述為：a∈Z，b∈Z，a≥0，b＜0時ab＝ba＝-lallbl。

便得出了一個自然數與一個負整數積的意義和計算方法。并知道此時的乘法滿足交換律。

若是負整數與負整數相乘，我們規定：

a∈N，b∈N時（-a）×（-b）＝-（a×（-b））＝-（-ab）＝ab。

可見兩個負整數相乘，其積為正，隻需将它們的絕對值相乘。

用式子表示為：

a∈Z，b∈Z，a＜0，b＜0時ab＝ba＝lallbl。

當然可證其滿足交換律。

這樣一來，我們有：兩個整數相乘，其積的符号判定法則：正正得正，負負得正，一正一負得負。

如：34×25＝25×34

＝17×50＝850。

（-34）×25＝25×（-34）＝-850。

（-34）×（-25）

＝（-25）×（-34）

＝25×34

＝850。

可得：作整數乘法，先定符号，再将絕對值相乘。

可證：a∈Z，b∈Z時，0×a＝a×0＝0，1×a＝a×1＝a，a×（-1）＝（-1）×a＝-a，（-1）×（-1）＝1，a×（-b）＝-ab，（-a）×（-b）＝ab。

由上知，整數乘法，其積仍為整數。即：

若a∈Z，b∈Z時ab∈Z成立。

所以整數乘法是封閉的。

由前述定義，可以證明：

a∈Z，b∈Z，c∈Z時

ab＝ba（交換律），

（ab）c＝a（bc）（結合律）。

如：（-35）×（-67）×（-8）

＝（（-35）×（-8））×（-67）

＝70×4×（-67）

＝280×（-67）

=-280×67

＝-1876。

∵（-6）×（（-3） （-7））

＝（-6）×（-10）＝60，

（-6）×（-3） （-6）×（-7）

＝18＋42＝60，

∴（-6）×（（-3） （-7））

＝（-6）×（-3） （-6）×（-7）。

同理計算知（-6）×（10 （-7））

＝（-6）×10 （-6）×（-7）＝-18。

一般地，通過分類讨論（分三正，一正二負，一負二正，三正四種大情況）可證：整數乘法對加法滿足分配律。即：

a∈Z，b∈Z，c∈Z時

a（b＋c）＝ab＋ac（分配律）。

總之，整數乘法，計算時主要要注意積的符号的判定，其它的基本沒變。如運算律沒變，封閉性也沒變。

5.整數的除法

與與自然數除法一樣，定義除法為乘法的逆運算。

即：若ax＝b，則稱x為b除以a所得的商，記為x＝b÷a，其中b為被除數，a為除數。

顯然：0x＝b時b＝0則x有無數個值，b≠0則x不存在，所以規定b÷0無意義。

即在整數除法中除數仍然不為0。

又a∈Z且a≠0時a×0＝0，∴0÷a＝0，即0除以正整數或負整數都等于0。

∵3×5＝5×3＝15，∴15÷5＝3，15÷3＝5。

一般地：自然數除法是整數除法的一部分。

∵（-3）×（-5）＝（-5）×（-3）＝15，∴15÷（-5）＝-3，15÷（-3）＝-5。

一般地：正整數除以負整數為負數。

∵3×（-5）＝5×（-3）＝-15，∴（-15）÷3＝-5，（-15）÷5＝-3。

一般地：負整數除以正整數為負數。

∵3×（-5）＝5×（-3）＝-15，∴（-15）÷（-5）＝3，（-15）÷（-3）＝5。

一般地：負整數除以負整數為正數。

可見：兩不等于0的整數相除，遵循下列符号法則：同号得正，異号得負。

如：

125÷（-25）＝-（125÷25）＝-5，

（-125）÷25＝-125÷25＝-5，

（-125）÷（-25）＝125÷25＝5。

顯然（-5）÷10＝-（5÷10）不是整數，所以，整數的除數是不封閉的。

可見：在整數集Z中，加減乘法具有封閉性，而除法不具有封閉性。

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