我對二項式定理(Binomial Theorem)的熱愛無以言表，它看上去有很多數學符号，但本質上是用組合的方法來解決一個長得可怕的代數問題。尤其在你邂逅美妙的楊輝三角時，就會更感受到的數學不可思議之處。

但當第一次遇到它的時候，二形式定理中這些并不熟悉的數學符号可能會讓你望而生畏。看下面的整個公式，有求和 ∑ 符号，帶有階乘的組合公式，還有各種指數都在其中。

其中從 n 個元素中選取 k 個元素的組合公式為：

二項式定理其實是一個二項多項式乘以自己 n 次最後展開得到的結果。下面就是一個抽象展開式，說明如何将二項式相乘 n 次的結果。實際上，這樣教科書般的展示方式很難閱讀。

不要擔心，這個公式實際使用并不太難，通過此文可以了解一個複雜的二項式是如何展開。

讓我們從一個簡單的例子開始，假設我們想用算出 ，即便用逐項來乘這也并不難做，但是讓我們使用下二項式定理，以便于當你遇到更大的展開式，例如二項式的指數提升到 4，5，6... 時，你會知道如何正确地去做。

首先，你需要确定二項式的兩項(上面公式中 x 和 y 的位置)和要展開的幂指數(n)。二項式定理的奇妙之處在于無需真得把一堆二項式相乘就可以找到展開的多項式。

另外，請注意最後展開的多項式的項數總是比要展開的幂指數大 1，這意味着如果幂指數是 3，則展開後多項式有 4 項。

例如，展開(2x-3)³，這兩項是 2x 和 3，幂指數 n 的值是 3。注意，每當你在二項式中做減法的時候，一定要記得把減号作為負号寫在相應的項上。

每一項都有一個(2x)和(-3)以及 n=3 的“n 選 k”公式。你可以寫下 4 次，每一項都寫一次，把 k 的值留在“n 選 k”公式裡，幂指數暫時為空。

接下來你要填入 k 值和幂指數。這裡增加每一項的次數你可以遵循求和公式，隻要遵循這些模式就很簡單了。

“n 選 k”中的 k 值将從 k=0 開始，每一項增加 1，最後一項應該是 k=n,在這種情況下 n=3,k=3。然後我們需要在(2x)和(-3)上加上幂指數。

(2x)上的幂指數從 n 開始，所以這裡是 3，每一項減少 1，直到 0。(-3)的幂指數從 0 開始，每次增加 1 直到 n，在這個問題中是 3。

因為任何數的 0 次幂都等于 1，所以可以先簡化帶有 0 次幂的項。

接下來，盡可能地簡化這些幂。

二項式定理展開式中每一項系數(即二項式系數)由兩個非負整數 n 和 k 來決定 。

這個數其實表達了從 n 個不同元素中取出 k 個元素的一個組合。最直接的方法是對每個問題應用下面組合數公式來計算，但是我們要借助楊輝三角走點捷徑。

楊輝三角形是一個簡單而強大的三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形，它的排列形如三角形。楊輝三角的前 10 行寫出來如下：

這是很棒的一部分，隐藏在楊輝三角裡的是能解決任何“n 選 k”的答案！它就像一個秘密的小作弊技巧！下圖顯示了隐藏的“n 選 k”的位置。

對于這個問題，我們需要解出：3 選 0，3 選 1，3 選 2，3 選 3，也就是第四行的所有值。所以我們需要做的隻是查找楊輝三角的第四行并把答案匹配起來。

第四行的值是 1，3，3，1，所以隻需帶入 n 選 k 的值。

最後，你要做的就是将每一項相乘，并化簡為最簡形式。不要忘記檢查你的最終答案以确保每一項的幂指數仍然加到了原來的二項式上。相信我，在這類問題中很容易出現抄寫錯誤。

最後的答案：

二項式定理看起來非常令人頭痛，但是如果将其分解成更小的步驟并檢查各個部分，它展開的過程也并不複雜。

如果指數 n 推廣到任意實數次幂，即牛頓在 1665 年所發表的廣義二項式定理，這個定理不僅是微積分發明的基礎，也牛頓衆多數學發明的起點，或許在未來的文章中會單獨讨論。

本文作者：[遇見數學翻譯小組] 核心成員姚佳

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