菱形具有一般平行四邊形的所有性質，同時又具有一些特殊性，可歸納為三個方面:(1)對邊平行，四邊相等;(2)對角相等，鄰角互補;(3)對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角.判定一個四邊形是菱形，可以先判定這個四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等或對角線互相垂直，也可直接證明四邊相等.

【題目呈現】

一，證明菱形

1.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作cE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE.

(1)求證:四邊形ABCD是菱形;

(2)若AB=√5，BD=2，求OE的長..

【分析】(1)由于AB∥CD，則∠CAB=∠ACD，又由于AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠CAD，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，又AD=AB，∴AB=CD，又AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形.

(2)∵四邊形ABCD是菱形，AC⊥BD，AC與BD互相平分，∵CE⊥AB，∴OE=OA，由于BD=2，則OB=1，在Rt△AOB中，可求得OA=2，∴OE=2.

2.如圖，已知四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OC，OB=OD，過O點作EF⊥BD，分別交AD，BC于點E，F，判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由.

【分析】由OA=OC，OB=OD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∵EF⊥BD，∴∠EOD=∠FOB=90°，又OB=OD，∴△EOD≌△FOB，∴ED=BF，而ED∥BF，∴四邊形BEDF為平行四邊形，又EF⊥BD，∴四邊形BEDF為菱形.

二，求角的度數

3.如圖，菱形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度數.

‘【分析】由于四邊形ABCD是菱形，∠B=∠EAF=60°，∴△ABC是等邊三角形，AB=AC，∠BAC=∠EAF=60°，而∠BAE=15°，∴∠CAF=∠BAE=15°，由于AC平分∠BCD，∴∠ACF=∠ABE=60°，∴△BAE≌△CAF，∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴∠AEF=60°，而∠AEC=∠BAE ∠ABE=15° 60°=75°，∴∠CEF=∠AEC一∠AEF=75°一60°=15°.

4.如圖，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的點，且CE=CF，過點C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度數.

【分析】由于菱形四條也相等，即AB=AD=BC=CD，而CE=CF，∴BE=DF，又∠B=∠D，∴△ABE≌△ADF，∴∠FAD=∠BAE=25°，由于∠BCD=130°，∴∠B=50°，∴∠AEC=∠B ∠BAE=50° 25°=75°，∵AD∥BC，CG∥EA，∴四邊形AECG是平行四邊形，∴∠AGH=∠AEC=75°，∴∠AHC=∠FAD ∠AGH=25° 75°=100°.

三，求線段的長

5.如圖，在菱形ABCD中，F為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E，∠1=∠2.

(1)若CE=1，求BC的長;

(2)求證:AM=DF ME.

【分析】(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠1=∠DCA，∵∠1=∠2，∴∠2=∠DCA，∴DM=CM，∴ME⊥CD，CE=1，∴CD=2CE=2，∴BC=CD=2.

(2)由于F是BC的中點，我們想到中線倍長，延長DF，交AB的延長線于G，如圖，

∵F是BC的中點，∴BC=2CF=2BF，∵CD=2CE，BC=CD，∴CE=CF，由題易知∠ECM=∠FCM，又CM=CM，∴△CEM≌△CFM，∴ME=MF，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠2=∠G，又∵∠DFC=∠GFB，CF=BF，∴△DCF≌△GBF，∴DF=GF，∵∠2=∠G，∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=GM，又∵MG=GF MF，DF=GF，ME=MF，∴AM=DF ME.

四，求面積

6.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中，點過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F.

(1)證明四邊形ADCF是菱形;

(2)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積.

【分析】(1)∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，又E是AD的中點，∴AE=DE，而∠AEF=∠DEB，∴△AEF≌△DEB，∴AF=DB，又DB=DC，∴AF=DC，而AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC=90°，DB=DC，∴AD=DC，∴四邊形ADCF是菱形.

(2)設菱形DC邊上的高為h，則Rt△ABC斜邊BC邊上的高也為h，∵BC=√(5² 4²)=√41，∴CD=BC/2=√41/2，∴h=4×5/√41=20/√41，∴菱形ADCF的面積為DC×h=10.

五.求最值

7.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F是AC上一動點，求EF BF的最小值.

【分析】本題是典型的将軍飲馬問題，由于菱形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分，所以連接DB，則點B關于AC的對稱點為點D，∴DF=BF，連接DE交AC于M，連接DF，如圖，

則EF BF=EF DF≥DE，隻有當點F運動到點M的位置時取等号，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形，又E為AB的中點，∴DE⊥AB，∴AE=AB/2=1，∴DE=√(AD²一AE²)=√3，∴EF BF的最小值為√3.

六，解折疊問題

8.如圖①，将一張矩形紙片ABCD沿着對角線BD向上折疊，頂點C落到點E處，BE交AD于點F.

(1)求證:△BDF是等腰三角形.

(2)如圖②，過點D作DG∥BE，交BC于點G，連接FG交BD于點O.

①判斷四邊形BFDG的形狀`，并說明理由;

②若AB=6，AD=8，求FG的長.

【分析】(1)由折疊知△BDC≌△BDE，∴∠DBC=∠DBE，又∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDB，∴∠DBE=∠FDB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形.

(2)①，∵四邊形ABCD是矩形，∴FD∥BG，∵DG∥BE，∴四邊形BFDG是平行四邊形，又DF=BF，∴四邊形BFDG是菱形.

②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴BD=√(AB² AD²)=10，又∵四邊形BFDG是菱形，∴GF⊥BD，FG=2OF，OB=BD/2=5，設DF=BF=x，則AF=AD一DF=8一x，在Rt△ABF中，AB² AF²=BF²，即6² (8一x)²=x²，解得x=25/4，∴FB=25/4，在Rt△FOB中，FO=√(BF²一OB²)=15/4，∴FG=2FO=15/2.

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