第一次數學危機，是數學史上的一次重要事件，發生于大約公元前400年左右的古希臘時期，自根号二的發現起，到公元前370年左右，以無理數的定義出現為結束标志。

這次危機的出現沖擊了一直以來在西方數學界占據主導地位的畢達哥拉斯學派，同時标志着西方世界關于無理數的研究的開始。

從某種意義上來講，現代意義下的數學，也就是作為演繹系統的純粹數學，來源予古希臘畢達哥拉斯學派。它是一個唯心主義學派，興旺的時期為公元前500年左右。他們認為，“萬物皆數”(指整數)，數學的知識是可靠的、準确的，而且可以應用于現實的世界，數學的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經驗。

有理數的定義

第一次數學危機

整數是在對于對象的有限整合進行計算的過程中産生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數。于是，如果定義有理數為兩個整數的商，那麼由于有理數系包括所有的整數和分數，所以對于進行實際量度是足夠的。

芝諾悖論

古希臘著名哲學家芝諾（約公元前490年~前425年）曾提出四條著名的悖論，也被如今的數學史界認定為引發第一次數學危機的重要誘因之一。

第一，“二分法”。

運動着的東西在到達目的地之前須先完成行程的一半，而在完成行程的一半後，還須完成行程的一半的一半……如此分割，乃至無窮，因而它與目的地之間的距離是無限的，永遠也達不到目的地。

第二，“阿基裡斯永遠追不上烏龜”。

阿基裡斯是希臘跑得最快的英雄，而烏龜則爬得最慢。但是芝諾卻證明，在賽跑中最快的永遠趕不上最慢的，因為追趕者與被追趕者同時開始運動，而追趕者必須首先到達被追趕者起步的那一點，如此類推，他們之間存在着無限的距離，所以被追趕者必定永遠領先。

第三，“飛矢不動”。

任何物體都要占有一定的空間，離開自己的空間就意味着失去了它的存在。飛矢通過一段路程的時間可被分成無數瞬間，在每一瞬間，飛矢都占據着一個與自己大小相同的空間，由于飛矢始終在自己的空間之中，因而它是靜止不動的。

第四，“運動場”。

有兩排物體，大小相同，數目相等，一排從終點排到中間點，另一排從中間點排到起點，當它們以相同的速度作方向相反的運動時，就會在時間上出現矛盾。芝諾認為這可以證明一半的時間等于一倍的時間。

以上四條悖論從根本上挑戰了畢達哥拉斯學派所一直貫徹的度量和計算方式。

危機解決

關于無理數

約在公元前370年，柏拉圖的學生攸多克薩斯(Eudoxus，約公元前408—前355)解決了關于無理數的問題。他純粹用公理化方法創立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。他處理不可公度的辦法，被歐幾裡得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄。并且和狄德金于1872年繪出的無理數的現代解釋基本一緻。21世紀後的中國中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。

關于芝諾悖論

芝諾的四條悖論在後來被亞裡士多德等人成功解釋完畢。

第一條悖論：伯内特解釋了芝諾的“二分法”：即不可能在有限的時間内通過無限多個點，在你走完全程之前必須先走過給定距離的一半，為此又必須走過一半的一半，等等，直至無窮。亞裡士多德批評芝諾在這裡犯了錯誤：“他主張一個事物不可能在有限的時間裡通過無限的事物，或者分别地和無限的事物相接觸，須知長度和時間被說成是“無限的”有兩種涵義。一般地說，一切連續事物被說成是“無限的”都有兩種涵義：或分起來的無限，或延伸上的無限。因此，一方面，事物在有限的時間裡不能和數量上無限的事物相接觸；另一方面，卻能和分起來無限的事物相接觸，因為時間本身分起來也是無限的。因此，通過一個無限的事物是在無限的時間裡而不是在有限的時間裡進行的，和無限的事物接觸是在無限數的而不是在有限數的範圍上進行的。

第二條悖論：亞裡士多德指出這個論證和前面的二分法是一回事，這個論證得到的結論是：跑得慢的人不可能被趕上。因此，對這個論證的解決方法也必然是同一個方法，認為在運動中領先的東西不能被追上這個想法是錯誤的，因為在它領先的時間内是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過所規定的有限的距離的話，那麼它也是可以被趕上的。

第三條悖論：亞裡士多德認為芝諾的這個說法是錯誤的，因為時間不是由不可分的‘現在’組成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分組合成的那樣。亞裡士多德認為，這個結論是因為把時間當作是由‘現在’組成的而引起的，如果不肯定這個前提，這個結論是不會出現的。

第四條悖論：亞裡士多德認為，這裡錯誤在于他把一個運動物體經過另一運動物體所花的時間，看做等同于以相同速度經過相同大小的靜止物體所花的時間，事實上這兩者是不相等的。

在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們認識到有理數在幾何上不能滿足需要，但畢達哥拉斯本身并不承認無理數的存在。 直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

根據日常經驗，有理數集在數軸上似乎是“稠密”的，于是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1厘米的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小于0.001厘米），總可以用有理數來表示足夠精确的測量結果（比如1.414厘米）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，隻使用有理數無法完全精确地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：

任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。

第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位。同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然産物。

回顧在此以前的各種數學，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數學也是從實際出發，應用到實際問題中去的。例如，泰勒斯預測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船隻離岸距離等等，都是屬于計算技術範圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數學，并沒有經曆過這樣的危機和革命，也就繼續走着以算為主，以用為主的道路。而由于第一次數學危機的發生和解決，希臘數學則走上完全不同的發展道路，形成了歐幾裡得《原本》的公理體系與亞裡士多德的邏輯體系，為世界數學作出了另一種傑出的貢獻。據史籍記載,古代的希臘和中國,很早就發現了無理數。然而東西方卻通過不同的途徑來認識和發展無理數的理論:希臘人着眼于幾何量的長度關系,從線段不可公度的幾何角度入手,用邏輯方法進行探讨;中國人着重滿足實際應用的數的運算,從開方不盡的計算過程入手,通過計算方式來認識并建立其法則。

但是，自此以後希臘人把幾何看成了全部數學的基礎，把數的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數本身的研究，使算術和代數的發展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發展的局面在歐洲持續了2000多年

正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有“萬物皆數”的信念，這裡的數是指自然數（1 , 2 , 3 ，...），而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數集存在“縫隙”這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊；這即使數學史上第一次數學危機。

從古希臘一直到17世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，并把它和有理數平等地看作數；後來有虛數概念的引入，為加以區别而稱作“實數”，意即“實在的數”。在當時，盡管虛數已經出現并廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後，才由十九世紀末的戴德金、康托等人對實數進行了嚴格處理。

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