公衆号：小學培優

（一）長方體和正方體

長方體和正方體的特征：

形體

面

頂點

棱

關系

長方體

6個

至少4個面

是長方形

相對面

完全相同

8個

12

條

相對的棱

長度相等

正方體

是特殊

的長方

體

正方體

6個

正方形

6個面完全相同

8個

12

條

12條棱長度都相等

長方體和正方體的表面積：

概念：長方體或正方體6個面的總面積，叫做它們的表面積

計算公式：

長方體表面積=（長×寬 長×高 寬×高）×2

正方體表面積=棱長×棱長×6

注：不足6個面的實際問題根據具體情況計算，例如魚缸、無蓋紙盒等等。

體積（容積）單位進率換算：

1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米

1m³=1000dm³ 1dm³=1000cm³

1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升

1L=1000mL 1dm³=1L 1cm³=1mL

長方體和正方體的體積（容積）：

概念：物體所占空間的大小叫做它們的體積（容器所能容納其它物體的體積叫做它的容積）。

計算公式：

長方體體積公式=長×寬×高

正方體體積公式=棱長×棱長×棱長

長方體和正方體的體積=底面積×高

（二）分數乘法

分數與整數相乘及實際問題：

1.分數與整數相乘：用整數與分數的分子相乘的積作為分子，分數的分母作為分母，最後約分成最簡分數。或者先将整數與分數的分母進行約分，再應用前面計算法則。

注：【任何整數都可以看作為分母是1的分數】

2.求一個數的幾分之幾是多少，可以用乘法計算。

3.解題時可以根據表示幾分之幾的條件，确定單位1的量，想單位1的幾分之幾是哪個數量，找出數量關系式，再根據數量關系式列式解答。

分數與分數相乘及連乘：

1.分數與分數相乘：用分子相乘的積作為分子，用分母相乘的積作為分母，最後約分成最簡分數。

2.分數連乘：通過幾個分數的分子與分母直接約分再進行計算

3.一個數與比1小的數相乘，積小于原數；一個數與比1大的數相乘，積大于原數。

倒數的認識：

1.乘積是1的兩個數互為倒數。

2.求一個數（不為0）的倒數，隻要将這個數的分子與分母交換位置。【整數是分母為1的分數】

3.1的倒數是1，0沒有倒數。

4.假分數的倒數都小于或等于1（或者說不大于1）；真分數的倒數都大于1。

（三）分數除法

分數除法：

1.分數除法計算法則：甲數除以乙數（不為0）等于甲數乘乙數的倒數。

2.分數連除或乘除混合計算：可以從左向右依次計算，但一般是遇到除以一個數，把它改寫成乘這個數的倒數來計算。【轉化成分數的連乘來計算】

3.除數大于1，商小于被除數；除數小于1，商大于被除數；除數等于1，商等于被除數。

4.分數除法的意義：已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數？可以用列方程的方法來解，也可以直接用除法。

注：在單位換算中，要弄清需要換算的單位之間的進率是多少

比的認識：

1.比的意義：比表示兩個數相除的關系。

2.比與分數、除法的關系：

相互關系

區别

比

前項

比号（：）

後項

比值

關系

分數

分子

分數線（－）

分母

分數值

數

除法

被除數

除号（÷）

除數

商

運算

3.比值：比的前項除以比的後項，所得的商就叫比值。

注：比值是一個數，可以是整數、分數、小數，不帶單位名稱。

4.比的基本性質：比的前項和後項同時乘或除以一個相同的數（0除外），比值不變。

5.最簡整數比：比的前項和後項是互質數。也就是比的前項和後項除了1意外沒有其它公因數。

6.化簡：運用比的基本性質對比進行化簡，方法：先把比的前、後項變成整數，再除以它們的最大公因數。

注：化簡比和求比值是不同的兩個概念【意義不同，方法不同，結果不同】

7.按比例分配問題：将一個數量按照一定比例，分成幾個部分，求每個部分是多少，這類問題稱為按比例分配問題。

解決方法：先求出總份數，再求各部分數占總數的幾分之幾，轉化成分數乘法來計算。

（四）解決問題的策略

用“替換”策略解決實際問題：

問題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿，已知小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

如果把720毫升果汁全部倒入小杯，需要（6 3）個小杯。

如果把720毫升果汁全部倒入大杯，需要（1 2）個大杯。

用“假設”策略解決實際問題：

問題：在1個大盒和5個同樣的小盒中裝滿球，正好是80個，每個大盒比每個小盒多裝8個，大盒裡裝了多少個球？小盒呢？

分析：假設6個全是小盒→球的總數比80小，把1個大盒換成小盒球的總數比80少8個→小盒：（80-8）÷6=12大盒：12 8=20檢驗

先假設→再比較（與條件不符）→進行調整→得出結果→檢驗

（五）分數四則混合運算

分數四則混合運算的順序：

分數四則混合運算的順序與整數相同。先算乘除法，後算加減法；有括号的先算括号裡面的，後算括号外面的。

分數四則混合運算的運算律：

稍複雜的分數乘法實際問題：

1.甲占（是）乙的幾分之幾

幾分之幾=甲÷乙；

甲=乙×幾分之幾；

乙=甲÷幾分之幾；

2.甲占（是）總量的幾分之幾，求乙？

乙=總量-甲×幾分之幾

3.甲比乙多（增加、上升、提高）幾分之幾

幾分之幾=（甲-乙）÷乙；

甲=乙×（1 幾分之幾）；

乙=甲÷（1 幾分之幾）

4.乙比甲少（減少、下降、降低）幾分之幾

幾分之幾=（甲-乙）÷甲；

甲=乙÷（1-幾分之幾）；

乙=甲×（1-幾分之幾）

（六）百分數

百分數的意義及讀寫：

1.百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數，也叫百分比或百分率。

2.百分數的讀寫：百分數不寫成分數形式，先寫分子，再寫百分号。

注：百分數後面不帶單位名稱。（常出現在判斷題中）

百分數與小數的互化：

百分數與分數的互化：

求一個數是另一個數的百分之幾的實際問題：

公式：（一個數÷另一個數）×100%

生活中常見的一些百分率：

合格率＝合格産品數÷産品總數×100%

出勤率＝實際出勤人數÷應出勤人數×100%

發芽率＝發芽種子數÷試驗種子總數×100%

成活率＝成活棵數÷種植總棵數×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

命中率＝命中次數÷總次數×100%

及格率＝及格人數÷參加考試人數×100%

納稅問題：

求應納稅額實際上就是求一個數的百分之幾是多少，也就是把應該納稅部分的總收入乘以稅率百分之幾，就求出了應納稅額。

利息問題：

利息=本金×利率×存期

折扣問題：

折扣=實際售價÷原售價×100%

列方程解決稍複雜的百分數實際問題：

1．解答稍複雜的百分數應用題和稍複雜的分數應用題的解題思路、解題方法完全相同。

2．用字母或含有字母的式子表示題中兩個未知的數量，找出數量間的相等關系。根據求一個數的百分之幾是多少用乘法列方程求解，或者根據除法的意義，直接解答。

3．“已知比一個數多（少）百分之幾的數是多少，求這個數”的實際問題，可以根據數量間的相等關系列方程求解；或者根據除法的意義，直接解答。

4．靈活運用本單元所學知識，解決稍複雜的百分數實際問題，溝通分數、百分數應用題之間的聯系.

▍資料來源：網絡

▍綜合整理：小學培優

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