一、緣起

　　有人說數學教學是一門思辨的藝術，嚴密的推理，邏輯的論證，精确的計算，步步為營的思維方式，總能讓人體會數學的無窮魅力！

　　引發思考的導火索是一道填空題。

　　在（　）÷ 6 = 4 ……（　）中，第二個括号最小能填（　），則第一個括号裡填（　）。

　　“第二個括号最小能填幾”其實就是“餘數最小是幾”，這個問題在老師們中引起了争議，有人說“餘數最小是1”，有人說“餘數最小是0”，孰是孰非？大家“刨根問底”的勁頭兒上來了，決定抱着科學嚴謹的态度，多方論證，一探究竟。

　　二、且聽一線之聲

　　餘數可以是0嗎？大家知道一線老師們怎樣看待這一問題，于是随機“采訪”了幾位老師。

　　師1：什麼叫有餘數的除法？平均分後，沒有完全分完，所剩下的就是餘數，如果完全分完了，應該是沒有餘數了，所以我認為有餘數的除法應該不包括完全分完的這種情況，所以餘數不可能有0。

　　師2：首先如果0是餘數，那整數的除法都是有餘數的除法了，就不存在沒有餘數的除法，這與我們平時的說法不一緻。再從字面上理解，“餘數”就是剩餘的數，沒有剩餘怎麼會有餘數呢？

　　師3：我找到了2012年版（第6版）《現代漢語詞典》（商務印書館），在P1585關于“餘數”一詞是這樣解釋的，“整數除法中，被除數未被除數整除所剩的大于0而小于除數的部分。如27÷6=4…3。即不完全商是4，餘數是3。

　　師4：任何除法都有餘數，當然0也是餘數，在有些版本的教材中有提示，餘數0可以不寫，但有一點得明确，0一定不能當除數，否則就無意義。

　　師5：在有餘數的除法中，除得的餘數必須比除數小，0比除數小。我覺得0是餘數。

　　三、且讀教材之說

　　老師們不同的答案，各有各的道理，可究竟孰是孰非，誰也不敢妄下結論，于是決定借助教材來找尋答案。

　　通過網絡和其他途徑，找到了幾種使用較廣的不同版本小學數學教材。不同版本教材對“餘數”這部分内容相關章節的呈現，以及《教師用書》中關于教材的解讀，引起各位的一些思考。

　　▲ 2011年人教版三年級上冊

　　▲ 2014年新人教版二年級下冊

　　教參解讀

　　《有餘數除法》這部分内容新版教材由三年級上冊前移至二年級下冊，與實驗教材相比，主題圖在編排上發生了很大的變化，由純粹的算式探究改為了活動探究，突出體現了利用實際操作加強學生理解餘數的含義。

　　新版教材例2通過用小棒擺正方形的操作活動，在鞏固有餘數除法的含義的基礎上，讓學生通過觀察、比較、分析、發現餘數和除數之間的關系〔餘數＜除數〕，明白餘數比除數小的道理。随後的“做一做”題目設計比較巧妙，沒有給出小棒的總根數，而是讓學生運用餘數和除數的關系解決問題，使學生明确：最小的餘數是1，最大的餘數比除數小1，進而加深學生對餘數和除數關系的理解。

　　思考

　　對比新老人教版的教材，雖然探究餘數和除數關系時在編排的理念上有很大的變化，但正文部分都沒有直接給出餘數的相關結論和餘數可能是幾的明确答複，給我們的感覺是“猶抱琵琶半遮面”，一線老師仍是不甚明了。但從教參的解讀，依稀能感覺編者還是更加傾向“餘數不可以為0”這一觀點。

　　▲ 老蘇教版二年級數學下冊

　　▲ 新蘇教版二年級數學下冊

　　教參解讀

　　由于所處地域及其他各方面原因，沒有找到相應的教師教學用書，所以也不敢妄加解讀，感到特别遺憾，以後等找到相關的材料再補上。

　　思考

　　老蘇教版這部分内容教材呈現形式和北師大（第3版）幾乎一樣，都是出示一組算式，讓學生通過“比較每道題的餘數和除數的大小，你發現了什麼？”，教材中沒有給出明确的答複，估摸着教參的說法應該也和北師大（第3版）差不多，認為餘數就是指分剩下的數。

　　新蘇教版關于這部分的内容呈現和新人教版差不多，都是通過用小棒擺正方形的操作活動，讓學生通過觀察、比較、分析、發現餘數和除數之間的關系。不同的是人教版教材中沒有給出結論，而新蘇教版教材中明确地告訴學生“餘數可能是1、2、3，不能是4”，直接說出了餘數的所有可能，沒有說有0。個人認為蘇教版的編者可能更傾向“餘數不能為0”這一結論，認為最小的餘數就是1。

　　▲ 北師大版（第3版）二年級數學

　　▲ 北師大版（第4版）二年級數學

　　教參解讀

　　第3版教材P4通過四道題的練習，讓學生通過比較每道題的餘數和除數，自主探索并發現餘數與除數之間的關系，教學時教師要讓學生認識到分剩下的數就是餘數。第4版教材P4結合搭正方形的活動，為學生理解餘數和除數的關系提供了形象化的支撐。整個活動完成之後，再觀察填寫表格，有利于激發學生産生“餘數一會兒大一會兒，怎麼回事”、“餘數都比除數小，為什麼”的數學問題，進而自然引導學生總結出餘數和除數的關系。

　　思考

　　在第4版教參中有這樣的幾段話引起了我們的注意：

　　《教參》P2說“本冊是第二次學習除法，重點是指結合平均分物與操作活動學習有餘數除法（注：本單元‘有餘數的除法’都是指‘有剩餘的除法’，即餘數不為0的除法），認識餘數并探索除數和餘數的關系”。

　　另外在P13又說“需要說明的是，在上面的探索活動中，為了呈現操作過程的原始記錄，學生需要填寫餘數為0的算式，但是在平時進行除法運算時，餘數為0可以不寫”。

　　教參中首次出現“餘數為0”這一關鍵詞，對比第3版教參，從“教學時教師要讓學生認識到分剩下的數就是餘數”→“本單元‘有餘數的除法’都是指‘有剩餘的除法’，即餘數不為0的除法” →“為了呈現操作過程的原始記錄，學生需要填寫餘數為0的算式”。第4版教參沒有回避“餘數可以是0”這一話題，我想編者一定不會在這塊内容随意進行修改，肯定也是經過了一番考證，覺得餘數為0還是有道理的，應該是有意而為之。

　　四、且觀專家論道

　　在數學課本上找不到“餘數可以為0”的論述，教參中的說法又沒有形成統一的觀點，而在詞典中卻找到了“餘數不可以為0”的證據，所以不難理解很多老師都堅持認為餘數不能為0了，事實的真相果真如此嗎？

　　畢竟詞典隻能代表一家之言，還是決定找找數學方面的專業書籍和求證有關專家，希望在那裡找尋到我們想要的答案。

　　聯系到一位攻讀了博士學位、現在大學數理學院任教的朋友，把自己的疑惑和想法和他進行了交流，他也不能輕易下結論，要想真正弄清楚必須找到相關的佐證。

　　幾天後這位愛做研究的朋友發來了多篇關于餘數知識的論文，并快遞過來一本他用過的大學教材——《初等數論》（潘承洞、潘承彪著），北京大學出版社出版，在這本書P16第一章《整除》§3〈帶餘數的除法〉有這樣的論述“初等數論的證明中最重要的、最基本、最直接的工具就是下面的帶餘除法，也稱除法算式”，上面記載了如下的定理和推論。

　　[ 定理1 ] 設 a、b 是兩個給定的整數，a≠0，那麼一定存在唯一的一對整數 q 和 r，滿足 b＝qa＋r，0≤r＜a，此外 ab 的充要條件是 r＝0

　　這裡 r 指的就是餘數，書中非常明确地告訴了我們餘數可以是0。

　　小學數學特級教師牛獻禮關于餘數有這樣一段論述：

　　為什麼有人提出“0是餘數嗎”的質疑呢？這可能與平時不嚴謹的語言描述有關。如把“沒有剩餘的除法”說成“沒有餘數的除法”，把“有剩餘的除法”說成“有餘數的除法”。這種把除法分成有或沒有餘數的描述，導緻了認知沖突：既然沒有餘數，怎麼又冒出餘數是0呢？

　　這段話給了我們很大的啟示，令我豁然開朗。

　　接着，繼續在網上搜集了很多關于餘數方面的專家論文，其中有一篇是江西南昌師專肖鑒铿教授撰寫的題目是《淺談在整數除法中餘數可以為零》，裡面有這樣的一段論述“事實上，‘餘數為0’的提法早已被數學界認可。‘餘數為0’的說法是有據可查的”，在《小學數學教師手冊》（人民教育出版社，1982年）第49頁有如下表述：

　　判定一個整數能不能被另一個正整數整除，隻需進行除法運算即可。如果所得的餘數為0，就是整除的情況；如果所得的餘數不為0，就是不能整除的情況。

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