作者：Math001

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事情的起因是我們哆嗒數學網的一位網友拿着Hardy和Wright合著的《數論導引》中文版說，書中明确指出，數學家早在1930年前後，就證明了eπ是無理數。這個讓我吃驚，因為就幾天前，我所能查到的資料，都說明eπ是否是無理數的問題還是一個未知答案的問題。——2017年前後，有人在預印本網站上發文說證明了它是無理數，但是被各路數學家指出了這篇文章的低級錯誤。

《數論導引》是英國頂級數學家Hardy的名著，英文原名叫做An Introduction to the Theory of Numbers直譯一般應該是《數論導引》。但是，為了銷售上的考慮，圖靈出版社翻譯這本書的時候，将書名定成了《哈代數論》，當當有售，現在巨貴。如此名著中既然這樣寫了，我們就要認真考證一下，到底怎麼回事。

第一反應是不是翻譯成中文後，陰差陽錯出現了搬運錯誤？上面中文版的截圖是該書的第6版，于是我也找到英文版的第6版來對比。結果，不出我所料，英文版和中文版的内容果然對不上。出乎我意料的是，中英對照的差異——比我原想的大的多。

首先，英文版中列出了兩行實數，分别列出了哪些是已經被證明了是無理數的數，哪些還沒有被證明是無理數的數。兩行數，每行4個數，共8個。而中文版中對應的兩行數變成每行3個數，共6個。然而，數的個數還不是最大的差異。在已經被證明了是無理數的那一行中，中文版裡列入了eπ，而英文版裡并沒有eπ，而是另外兩個數。而還沒有證明是無理數的那一行，英文版裡本來有e π，但是中文版裡把這個數去掉了。

——遺憾的是，e π以及eπ這兩個數的是否是無理數，到目前為止，依舊是未解之謎，人類中沒人知道。這些問題涉及數學裡的一個研究分支，叫做超越數論。

超越數論裡有個非常重要的猜想，叫做沙努爾猜想。如果這個猜想成立，那麼很多數的無理性以及超越性都能得到證明，包括e π和eπ。

在介紹這個猜想之前，首先要介紹一下在有理數數域上線性相(無)關和代數相(無)關的概念。

對于n個複數x1, x2, ... , xn ，如果存在不全為零的有理數q1, q2, ... , qn 使得q1·x1 q2·x2 ... qn·xn = 0 。則稱x1, x2, ... , xn在有理數域上線性相關，否則叫做在有理數域上線性無關。

對于n個複數x1, x2, ... , xn ，如果存在非零n元有理數系數多項式f滿足f(x1, x2, ... , xn) = 0 。則稱x1, x2, ... , xn在有理數域上代數相關，否則叫做有理數域上代數無關。

沙努爾猜想說：如果n個複數x1, x2, ... , xn在有理數域上線性無關，那麼這2n個複數中x1, x2, ... , xn, e^x1 , e^x2, ... , e^xn至少能找到n個複數有理數域上代數無關。（其中e^x 表示e的x次方）

知道了沙努爾猜想，我們就可以在假設這個猜想成立的情況，證明e π和eπ都是無理數（實際上能證明都是超越數）。

1和πi顯然在理數域上線性無關，所以 1 、πi 、 e 、 -1這4個數中，能找到2個代數無關。（注意 e^πi = -1）

如果令f(x,y)=(x-1)(x 1)y , 就能得到f(±1,y) =0 , 說明±1和所有複數都代數相關。所以隻能πi 和 e代數無關。

πi 和 e代數無關能得到π和e代數無關。這一點，如果你有代數擴張方面的知識能迅速看出來。當然，這裡為了保證這篇文章一定的友好度，我們也簡單說明一下。

如若不然存在非零二元有理系數多項式f(x,y)滿足f(e,π) = 0。那麼令g(x,y) = f(x,iy)·f(x,-iy)，這是一個非零有理系數多項式。而g(e,πi) = 0 ,與πi 和 e代數無關矛盾。

既然e和π代數無關，那麼e π不可能是有理數。如若不然，e π=q是有理數，則令f(x,y) = x y-q, f(e,π) = 0,矛盾。同樣的方式，也可證明eπ不可能是有理數。

好了，我想科普的内容就是這個沙努爾猜想。如果讀者你能有幸解決他，得幾個數學界的大獎是沒問題的。甚至如果你沒滿40歲的話，沖擊一下數學界的最高獎菲爾茲獎也是有機會的。

如果，你能證明eπ、e π是無理數的話，拿個數學的博士學位應該沒問題吧。

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